Quelle est la chance que ce code se termine?

J'ai écrit ce code Python et je me suis demandé s'il ne se terminait pas simplement parfois (en supposant que nous avions une mémoire / temps infinie et aucune limite de profondeur de récursivité).

Intuitivement, vous penseriez qu'il se termine, car à un moment donné, vous devez avoir de la chance , et s'il ne se termine pas, vous avez un temps infini pour avoir de la chance. D'un autre côté, à mesure que la profondeur de récursivité augmente, vous devez devenir exponentiellement plus chanceux.

import random

def random_tree():
    if random.random() < 0.5:
        return 0
    return [random_tree() for _ in range(random.randint(1, 5))]

Si random_treene se termine pas toujours, pourquoi et quelles sont les chances qu'il se termine?

J'ai essayé de le calculer en utilisant , ce qui, dans son formidable inutilité, donne la réponse ~ ou ... . $P = 1 - (1 - 0.5)(1 - (P + P^2 + P^3 + P^4 + P^5)/5)$ $0.684124$ $1$

Probablement plus compliqué, mais aussi intrigant pour moi, quelle est la chance de terminaison pour: $P(a, b)$

def random_tree(a, b):
    if random.random() < a:
        return 0
    return [random_tree(a, b) for _ in range(random.randint(1, b))]

Ou en pseudo-code:

random_tree(a, b) is a function that either:
    - returns 0 with probability a
    - returns a list containing the results of 1 to b
      (uniformly chosen from this inclusive range) recursive calls

random_tree(a, b):
    if rand() < a # rand() is a random real on [0, 1)
        return 0
    list = []
    len = randint(1, b) # uniform random integer from 1 to b inclusive
    do len times
        append random_tree(a, b) to list
    return list

trees probability-theory termination

— orlp
source

@DavidRicherby Ajouté en bas. Le code en haut est simple random_tree(0.5, 5).

— orlp

Ceci est connu comme un processus de branchement. Cherchez la réponse.

— Yuval Filmus

$1.25 > 1$

— Yuval Filmus
source

1

$1$

Il s'avère donc. Cette racine exprime le fait que si vous ne démarrez jamais, le processus s'éteint. Je vous suggère de faire quelques lectures sur ce sujet classique, traité par exemple par Feller.

— Yuval Filmus