Remplissage des bacs avec des paires de balles

Un bac est appelé plein s'il contient au moins $k$ boules. Notre objectif est de remplir autant de bacs que possible.

Dans le scénario le plus simple, on nous donne $n$ balles et pouvons les arranger arbitrairement. Dans ce cas, évidemment, le mieux que nous puissions faire est de choisir $\lfloor n/k \rfloor$ bacs et de mettre $k$ boules dans chacun d'eux.

Je m'intéresse au scénario suivant: on nous donne $n$ paires de balles. Nous devons mettre les deux balles de chaque paire dans deux bacs différents. Ensuite, un adversaire vient et retire une balle de chaque paire. Que pouvons-nous faire pour avoir le plus grand nombre possible de bacs pleins après le retrait?

Une stratégie simple consiste à choisir $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ paires de bacs. Remplissez chaque bin bin avec $2k-1$ ball-paires (chaque bin contient $2k-1$ balles, une balle de chaque paire). Ensuite, indépendamment de ce que notre adversaire retire, nous avons dans chaque bin bin au moins un bin plein.

Avons-nous une stratégie qui atteint un plus grand nombre de bacs pleins (plus de $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ )?

combinatorics balls-and-bins

— Erel Segal-Halevi
source

Je ne le crois pas

— Zach Saucier

est donné et

est donné?

dépend de

n

$n$

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Evil

@EvilJS

sont donnés et sont indépendants.

n

$n$

k

$k$

— Erel Segal-Halevi

Le joueur place-t-il toutes ses

paires de balles puis l'adversaire ramasse-t-il

balles?, Ou le joueur place-t-il une paire de balles puis l'adversaire en choisit une dans cette paire puis le joueur place la paire suivante et l'adversaire choisit une et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de paires de balles à placer?

n

$n$

n

$n$

— rotia

@rotia Le joueur place toutes ses n paires de balles, puis l'adversaire choisit n balles.

— Erel Segal-Halevi

TL; DR - Non, il n'y a pas de meilleure stratégie que la stratégie simple. Voici l'idée principale de la preuve. Quand il n'y a pas assez boules, il y aura un « chemin de boule » d'un de bin à un bac avec au plus boules. L'adversaire peut passer une balle de ce bac plein à ce bac moins plein le long de ce chemin, ce qui peut être fait à plusieurs reprises jusqu'à ce que le nombre de -bacs pleins soit réduit. $k$ $k-2$ $k$

Reformulation en théorie des graphes

Supposons que l'on nous donne un graphe fini simple avec une fonction . On dit qu'il y a des boules dans l'arête . Soit l'ensemble (bord marqué par l'extrémité) . Si satisfait $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ pour chaque arête , on dit que est -distributif. Toutefonction -distributrice induit une fonction, que nous utilisons le même symbole, , $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ . On dit que lesboules sont en . Étant donné , soit , le nombre de sommets complets par . $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

$G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

Imaginez que chaque sommet est un bac. Pour chaque bord , paires de billes sont placées dans et , chacune obtenant billes. Parmi ces paires de balles , l'adversaire peut retirer balles de et balles de . Le résultat final est le même que si, étant donné tous les bacs vides initialement, pour chaque bord , boules y sont insérées et, ensuite, et boules sont distribuées à et $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ respectivement par l'adversaire. Par conséquent, le théorème d'Erel-Apass dit que pour garantir k-pleins après le retrait d'un adversaire intelligent, au moins paires de balles sont nécessaires. $t$ $(2k-1)t$ En d'autres termes, une stratégie optimale pour avoir le plus grand nombre possible de bacs pleins est en effet la "stratégie simple", qui remplit à plusieurs reprises une paire de bacs différente avec des paires de billes jusqu'à ce que nous n'ayons pas assez de billes pour répéter. $2k-1$

Preuve du théorème

Pour des raisons de contradiction, considérons et un contre-exemple dont le nombre de sommets est le plus petit de tous les contre-exemples. Autrement dit, il y a -distribution tel que est minimal parmi tous les de -distribution fonction . De plus, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

Soit . Soit . Donc . $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

Réclamez un: . $V_s\neq\emptyset$ Preuve de revendication un. Supposons sinon que est vide. Réutilisons également en fonction de à telle sorte que pour chaque .
$V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$ Il doit donc y avoir un sommet tel que .

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

Considérons la configuration induite et , où , est le graphe induit et où . Pour toute fonction distribution , nous pouvons l'étendre à une fonction distribution où est identique à sur tandis que pour chaque arête adjacente à . Notez que puisque $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ . Puis Ainsi, et est un contre dont le nombre de sommets est inférieur au nombre de sommets dans . Cela ne peut pas être vrai par notre hypothèse sur et . Donc, une revendication est prouvée.

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Pour tout sommet , définissez accessible à partir du sommet s'il existe un chemin , tel que . Soit . $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

Revendication deux: $V_r = V$
Preuve de la revendication deux: Supposons . Pour tout sommet et , puisque nous ne pouvons pas atteindre partir de , si est une arête, alors Considérez la configuration induite et , où , est le graphe induit et où . Pour toute fonction -distributrice , $V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ où est identique à sur et identique à sur les autres arêtes. Notez que puisque tous les sommets avec pas moins de boules à l'intérieur sont dans . Puis Donc, et $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$ . Cela ne peut pas être vrai par notre hypothèse sur et . La deuxième revendication est donc prouvée.

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

Prouvons maintenant le théorème.

Puisque et , il existe un chemin , avec , et . Construisons une nouvelle fonction -distributrice de pour que $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ et s'accordent sur tous les sommets sauf et , et . On peut appliquer cette procédure sur pour obtenir . En répétant cette fois pour un assez grand , nous obtiendrons une fonction de répartition avec . Cependant, nous avons supposé que est le minimum parmi de la fonction de distribution $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$ . Cette contradiction montre que nous avons démontré le théorème d'Erel-Apass.

— John L.
source

J'ai lu la preuve, ça a l'air bien. En fait, si je comprends bien, c'est encore plus général car cela permet un graphe arbitraire - ma question est un cas particulier où G est le graphe complet. Est-ce correct? Autre question: où exactement la preuve utilise-t-elle le fait que m est tel que Fk (m) est minimal? Je vois qu'il n'est utilisé qu'au dernier paragraphe - les affirmations précédentes dans la preuve sont-elles vraies sans ce fait?

— Erel Segal-Halevi

Oui, le théorème est correct pour tout graphe car il dit "pour tout graphe G (V, E) (fini simple)". La minimalité de est nécessaire pour chaque revendication. Si vous recherchez "contre-exemple", vous trouverez où la minimalité est utilisée.

F_{k} (m)

$F_k(m)$

— John L.