Est-ce que prouver P ≠ NP serait plus difficile que prouver P = NP?

Considérons deux possibilités pour le problème P vs. NP: P = NP et P NP.$\neq$

Soit Q l'un des problèmes NP-difficiles connus. Pour prouver P = NP, nous devons concevoir un seul algorithme polynomial de temps A pour Q et prouver que A résout correctement Q.

Pour prouver P NP, nous devons montrer qu'aucun algorithme de temps polynomial ne résout Q. En d'autres termes, nous devons exclure tous les algorithmes de temps polynomial.$\neq$

J'ai entendu des gens dire que cela rend la deuxième tâche plus difficile (en supposant que c'est vraiment vrai).

Y a-t-il une raison de penser que prouver P = NP (en supposant que P = NP) serait plus facile que de prouver P NP (en supposant que P NP)?$\neq$$\neq$

Comme l'explique Raphaël, cette question est mal posée, car au plus l'un des P = NP et P ≠ NP devrait être prouvable. Cependant, une question similaire se pose en informatique théorique sous plusieurs formes, dont la plus visible se situe dans le domaine des algorithmes d'approximation .

Étant donné un problème d'optimisation NP-difficile (par exemple, la maximisation), nous pouvons nous demander dans quelle mesure nous pouvons l'approcher. Prouver une borne supérieure sur l'approximation possible s'apparente à P = NP, tandis que prouver une borne inférieure sur l'approximation possible s'apparente à P ≠ NP. Le premier est beaucoup plus facile que le second. En effet, pour prouver une borne supérieure, il suffit de trouver un algorithme d'approximation et de l'analyser. En revanche, toutes les bornes inférieures connues sont conditionnelles: ils ne sont valables que si P ≠ NP (en effet, si P = NP alors tout problème d'optimisation NP-dur deviendrait résoluble). Pour prouver ces limites inférieures, nous montrons que si nous pouvions trop bien approcher le problème, nous obtiendrions un algorithme de temps polynomial pour un problème NP-difficile. Habituellement, cela se fait via la machinerie technique complexe du théorème PCP. Ce domaine, connu sous le nom de dureté d'approximation , ne peut être abordé que par des spécialistes, et est techniquement plus difficile que la plupart des algorithmes d'approximation. Donc dans ce cas au moins, P = NP est en effet plus facile que P ≠ NP.

Nous n'avons pas exclu la possibilité d'une simple preuve que P = NP. Si quelqu'un arrive demain avec un algorithme qui résout un problème NP-complet en temps P, le monde change.

En revanche, nous avons exclu la possibilité d'une simple preuve que P! = NP. Nos techniques de preuve typiques pour montrer que deux classes de complexité différentes se sont avérées formellement insuffisantes. Trois de ces techniques sont connues sous le nom d '"arithmétisation", de "preuves naturelles" et de la catégorie de preuves appelées "relativiser" (celles qui ne se soucient pas des oracles utilisés). Il peut être prouvé que toute technique de preuve qui appartient à l'une de ces trois catégories ne peut pas prouver P! = NP.

En effet, il existe des preuves solides que prouver P! = NP nécessite de nouveaux types de preuves (nouvelles techniques avec des propriétés différentes), pas seulement une nouvelle application de techniques de preuve bien connues.

Maintenant, il pourrait s'avérer que P = NP, alors qu'il n'y a pas d'algorithme simple à vérifier dans P qui résout un problème NP-complet, et que de nouvelles techniques de preuve sont nécessaires pour prouver P = NP. (Si P = NP, nous connaissons déjà des algorithmes qui sont techniquement en P et qui résolvent les problèmes NP-difficiles, de manière amusante. Ils ne sont pas pratiques à exécuter, car leur facteur constant est grand.)

Fondamentalement, nous savons beaucoup de choses sur ce que nous ne pouvons pas utiliser pour prouver P! = NP, alors que nous savons apparemment peu sur ce que nous ne pouvons pas utiliser pour prouver P = NP.

Eh bien, vous avez essentiellement l'idée. Nous pensons généralement que P! = NP mais n'avons aucune idée de la façon dont nous pourrions même prouver que ces choses ne sont pas égales.

À l'inverse, si P = NP, vous penseriez que nous aurions trouvé un algorithme pour résoudre l'un des dizaines de problèmes NP-complets maintenant.

Ce sont des arguments très vagues, mais en quelques phrases, ils décrivent la culture des informaticiens.

La preuve que P! = NP est "plus difficile" dépend bien sûr de ce qui est vrai (sauf résultats méta-mathématiques?), Et cela, bien sûr, nous ne le savons pas.

$\neq$$\land$$\lor$$\lnot$$\mod_6$$n^{1.9}$

Cependant, il y a eu des travaux récents de Ryan Williams et d'autres qui montrent qu'il existe des liens intrinsèques entre prouver des limites inférieures et trouver des algorithmes. Par exemple, il a montré qu'un algorithme légèrement meilleur qu'un algorithme de force brute pour un problème SAT restreint particulier implique des limites inférieures de circuit, puis il a conçu un tel algorithme. Je pense donc que les gens sont un peu moins pessimistes et ne semblent pas non plus développer d'algorithme et prouver des limites inférieures aussi distinctes que les gens le pensaient.

$\pi$$\varphi$$\pi$$\varphi$et l'algorithme renvoie oui ou non. Vous pouvez penser à n'importe quel correcteur d'épreuves de cette façon. Vous pouvez également penser aux preuves dans un système mathématique comme ZFC en tant que tel. Le processus de vérification lui-même peut se faire en temps polynomial à la taille de la preuve car c'est une tâche syntaxique.

$\varphi$$\varphi$$\varphi$$2^{65536}$en ce sens que vous pouvez déterminer les lignes précédentes à partir de la ligne actuelle dans la preuve et la règle. Une exception importante à cela est la règle de coupe. C'est important car bien que nous n'ayons pas besoin de la règle de coupe pour prouver les déclarations, cela peut réduire considérablement la taille de la preuve la plus courte. Cependant, la règle de réduction n'est pas déterministe: il existe une formule de réduction que nous devons deviner. Vous pouvez penser à la règle de coupe comme prouvant les lemmes et les utilisant. La formule coupée est comme un lemme. Mais quel lemme devons-nous prouver qui nous aidera? C'est la partie difficile. Souvent, un résultat est prouvé en mathématiques en trouvant un bon lemme. De plus, lorsque vous utilisez des résultats précédemment éprouvés, vous utilisez essentiellement la règle de coupe. Les définitions sont un autre élément important pour prouver les déclarations. Souvent, nous définissons un nouveau concept, puis prouvons des déclarations à ce sujet, et enfin l'appliquer dans notre cas particulier. L'utilisation de définitions réduit la taille des formules (essayez d'étendre certaines formules mathématiques au langage théorique de l'ensemble pur en développant les définitions pour avoir une idée de l'importance des définitions). Encore une fois, quelles nouvelles définitions devrions-nous utiliser? Nous ne le savons pas. Cela m'amène au troisième sens d'une déclaration difficile à prouver. Une déclaration peut être difficile à prouver car vous avez besoin d'axiomes forts. Prenez par exemple Une déclaration peut être difficile à prouver car vous avez besoin d'axiomes forts. Prenez par exemple Une déclaration peut être difficile à prouver car vous avez besoin d'axiomes forts. Prenez par exempleCH . Il ne peut pas être prouvé dans ZFC ni réfuté dans ZFC. C'est un cas extrême mais cela arrive plus souvent que vous ne le pensez. Par exemple, avons-nous besoin de grands axiomes cardinaux (pour pouvoir travailler dans les univers de Grothendieck ) pour prouver le FLT ou pouvons-nous le prouver dans une théorie beaucoup plus faible comme l' AP ? Il s'agit d'un autre concept concernant la difficulté de prouver des déclarations.

$\neq$$\neq$$\neq$$\neq$

Je pense que la question peut être réduite à: est-il plus facile de prouver que quelque chose existe ou de prouver que quelque chose n’existe pas.

L'argument en faveur de la preuve que quelque chose existe est qu'il est facile de construire des choses qui pourraient satisfaire aux exigences et il est également facile de vérifier si elles les satisfont effectivement.

Dans certains cas, cela est vrai: si vous voulez trouver la racine d'un polynôme, il est facile de construire des nombres et il est facile de vérifier s'ils sont des racines.

Le problème, bien sûr, c'est qu'il faut avoir de la chance. Vous pourriez être en mesure de réduire l'espace de recherche, par exemple en prouvant qu'il doit être un multiple de 5 ou compris entre 1 et 10; mais, à moins que vous ne le limitiez à un ensemble fini de nombres (auquel cas vous n'utilisez pas vraiment la méthode "devinez et validez"), vous n'avez pas de méthode pour résoudre le problème: vous n'avez qu'une méthode qui, en supposant vous êtes extrêmement chanceux, pourriez générer une solution.

Mais si vous le souhaitez, il est tout aussi facile de prouver que quelque chose n'existe pas! Générez des textes qui pourraient être des solutions possibles et vérifiez s'ils le sont réellement.

Par conséquent, avoir une méthode qui pourrait donner la solution par pure chance ne signifie pas que prouver que quelque chose existe est plus facile.

Maintenant, est-il généralement plus facile de prouver que quelque chose existe avec une autre méthode? Cela dépend du problème réel car sinon, prouver que quelque chose n'existe pas serait réduit à prouver qu'une preuve qu'il n'existe pas existe. Et je crains que nous ne puissions pas mesurer cela car il n'y a jamais eu quelque chose dont il a été prouvé qu'il existait et n'existait pas afin que nous puissions (tenter de) mesurer la difficulté de la preuve.

Si vous prouvez que P = NP, prouver le contraire n'est pas seulement plus difficile, mais impossible.

Je pense qu'il est impossible de prouver P <> NP, car il faudrait exclure tous les algorithmes qui pourraient prouver P = NP. Il pourrait y en avoir un nombre infini possible. Il n'y a aucun moyen de réfuter l'infini, donc ce n'est pas possible. D'un autre côté, il suffirait d'un seul algorithme pour prouver P = NP, s'il en est ainsi. Par conséquent, soit P = NP que quelqu'un prouvera, soit nous ne le saurons jamais.