Pourquoi les problèmes de décision sont-ils couramment utilisés dans la théorie de la complexité?

De Wikipédia :

Le type de problème de calcul: Les problèmes les plus couramment utilisés sont les problèmes de décision . Cependant, les classes de complexité peuvent être définies en fonction des problèmes de fonction, des problèmes de comptage, des problèmes d'optimisation, des problèmes de promesse, etc.

J'ai également vu que les définitions de NP-complet, NP-dur, NP, ..., sont définies uniquement pour les problèmes de décision. Je me demande pourquoi c'est le cas?

Est-ce parce que tout autre problème peut être converti de manière équivalente en problème de décision?

Souvent, les problèmes de décision sont utilisés parce qu'ils permettent une définition précise et simple du problème et, comme indiqué, de nombreux autres problèmes peuvent être convertis en un problème de décision équivalent.

D'autres types de problèmes sont également pris en compte dans la théorie de la complexité, par exemple les problèmes de fonction et les problèmes de recherche .

il existe probablement de nombreuses façons de répondre à cette question, mais un élément clé est le précédent historique. la réfutation de l'existence d'un algorithme pour le problème d'arrêt en 1936 par Turing utilise le problème d'arrêt comme problème de décision. ceci était à son tour basé sur (et résolu négativement) Hilberts Entscheidungsproblem (1928) qui demandait une méthode systématique pour déterminer la vérité ou la fausseté de toute déclaration mathématique bien formée, c'est-à-dire aussi un problème de décision.

cela à son tour a une certaine similitude avec le 10ème problème de Hilberts datant de 1900 qui demande la solution d'équations diophantiennes entières (plusieurs de ses 23 problèmes de recherche frontaliers / pivots ont été déclarés comme des problèmes de décision). mais notez le problème Entscheidungs ​​même enraciné dans un concept beaucoup plus ancien de Leibniz comme le déclare wikipedia:

L'origine du problème Entscheidungs ​​remonte à Gottfried Leibniz qui, au XVIIe siècle, après avoir construit une machine à calculer mécanique réussie, rêvait de construire une machine capable de manipuler des symboles afin de déterminer les valeurs de vérité des énoncés mathématiques.

noter également que les équations diophantiennes datent des Grecs qui étaient parmi les premiers à considérer, étudier et souligner l'importance de la preuve mathématique. il y a au moins deux problèmes importants de la théorie des nombres, toujours non résolus avec beaucoup de recherches modernes, en raison des Grecs: l'existence de nombres premiers jumeaux infinis et l'existence de nombres parfaits impairs .

noter certains "problèmes de décision" (c'est-à-dire sous forme de recherche de preuves pour ouvrir des conjectures mathématiques) ont littéralement mis des centaines d'années à résoudre, par exemple Fermats Last Theorem , sur 3,5 siècles, également en théorie des nombres.

les problèmes de décision sont donc très anciens, mais même s'ils sont simplement énoncés, ils peuvent être extrêmement difficiles et sont essentiellement enracinés dans la question «cette affirmation est-elle vraie ou fausse» par rapport à l'existence de preuves. au cœur c'est un concept mathématique de base. en outre, il continue de réapparaître dans des endroits modernes d'une manière fondamentale et réminiscente comme la question P vs NP (~ 1971) où la classe NP peut être définie / encadrée en termes d'arrêt d'une machine NP et de solution du problème de satisfiabilité en temps P .