Conditions de planarité pour Planar 1-in-3 SAT

Planar 3SAT est NP-complet. Une instance planaire 3SAT est une instance 3SAT pour laquelle le graphique construit à l'aide des règles suivantes est planaire:

ajouter un sommet pour chaque et $x_i$ $\bar{x_i}$
ajouter un sommet pour chaque clause $C_j$
ajouter un bord pour chaque paire $(x_i,\bar{x_i})$
ajouter une arête du sommet (ou ) à chaque sommet qui représente une clause qui le contient $x_i$ $\bar{x_i}$
ajouter des bords entre deux variables consécutives $(x_1,x_2),(x_2,x_3),...,(x_n,x_1)$

En particulier, la règle 5 construit une "épine dorsale" qui divise les clauses en deux régions distinctes.

Planar 1-in-3 SAT est également NP-complet.

Mais pour SAT plan 1 en 3, les conditions de planarité sont-elles définies de la même manière que dans Planar 3SAT? En particulier, peut-on supposer qu'il existe une épine dorsale qui relie les variables ? $(x_i,x_{i+1})$

— Vor
source

Juste au cas où quelqu'un chercherait le papier où il présente la dureté de Planar 1-in-3SAT (version moins résistante). Voici un lien: dl.acm.org/citation.cfm?doid=1137856.1137859 D'après leur preuve, on peut voir que l'exigence de «colonne vertébrale» est facilement satisfaite.

— sud03r

Oui, vous pouvez. En fait, vous pouvez même montrer que quelque chose de plus fort est vrai. Le problème connu sous le nom de Positive Planar 1-in-3-SAT est NP-complet comme le montrent Mulzer et Rote .

Dans cette version de 1-en-3-SAT, vous avez besoin pour chaque formule d'entrée

vous avez trois variables par clause, aucune d'entre elles n'est niée
le graphe de la formule est plan, même si vous ajoutez le "backbone" entre les sommets variables

La réduction est de Planar 3-SAT .

— A.Schulz
source