Régularité des langues unaires avec des longueurs de mots la somme de deux resp. trois carrés

Je pense aux langues unaires , où est l'ensemble de tous les mots dont la longueur est la somme de carrés. Formellement: Il est facile de montrer que n'est pas régulier (par exemple avec Pumping-Lemma). De plus, nous savons que chaque nombre naturel est la somme de quatre carrés ce qui implique que pour toutes les langues sont régulières puisque L_k = L (a ^ *) .L k k L k = { a n ∣ n = k ∑ i = 1 n i 2$L_k$$L_k$$k$L 1 = { a n 2 ∣ n ∈ N 0 } k ≥ 4 L k L k = L ( a ∗

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$
$k\ge 4$$L_k$$L_k=L(a^*)$

Maintenant, je m'intéresse aux cas et :k = $k=2$$k=3$

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$ , .$L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$

Malheureusement, je ne suis pas en mesure de montrer si ces langages sont réguliers ou non (même à l'aide du théorème de Legendre à trois carrés ou du théorème de Fermat sur des sommes de deux carrés ).

Je suis à peu près sûr qu'au moins $L_2$ n'est pas régulier, mais malheureusement, penser n'est pas une preuve. De l'aide?

Commençons par . On sait que la densité supérieure des entiers qui sont la somme de deux carrés est 0. Si était régulière, elle serait finalement périodique, et donc, puisque sa densité supérieure est 0, finie. Mais nous savons qu'il existe des entiers arbitrairement grands dans , de sorte que ne peut pas être régulier.$L_2$$L_2$$L_2$$L_2$

En qui concerne , considérons les mots . Je prétends que pour , les mots sont inégaux. En effet, tandis que . Le critère Myhill – Nerode montre alors que est irrégulier.w k = 1 4 k 7 k < ℓ w k , w ℓ w k 1 4 k 8 ∉ L 3 w ℓ 1 4 k 7 ∈ L 3 L $L_3$$w_k = 1^{4^k 7}$$k < \ell$$w_k,w_\ell$$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$$w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$$L_3$

Supposons que soit régulier. Il en est de même de son complément qui, selon le théorème de Legendre à trois carrés, est { a n | n = 4 k ( 8 l + 7 ) , k , l ∈ N } . Selon le théorème de Parikh , cela impliquerait que l'ensemble des longueurs S = { 4 k ( 8 l + 7 ) | k , l ∈ N$L_3$$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$est semi-linéaire, c'est-à-dire une union finie d'ensembles linéaires S i = { a i + r b i | r ∈ N } .$\bigcup_{i=1}^NS_i$$S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$

Considérons deux éléments avec k 1 > k 2 , et soit r : = k 1 - k 2 . Si s 1 , s 2 sont tous deux dans le même S i , alors il en est de même$s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$$k_1>k_2$$r:=k_1-k_2$$s_1,s_2$$S_i$ ou 2 s 2 - s 1 (selon que s 1 < s 2 ou s 1 > s 2 ). Mais$2s_1-s_2$$2s_2-s_1$$s_1<s_2$$s_1>s_2$

• , où l ′ = 4 r - 1 ( 8 l 1 + 7 ) - l 2 ,$2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$$l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$
• , où l ′ = 2 l 2 - 4 r l 1 .$2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$$l'=2l_2-4^rl_1$

$S$$s_1,s_2$$S$$k$

$L_3$