2-SAT avec XOR-relations NP-complet?

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Je me demande s'il existe un algorithme polynomial pour "2-SAT avec relations XOR". Les deux 2-SAT et XOR-SAT sont en P, mais est-ce que sa combinaison?

Exemple d'entrée:

Partie 2-SAT: (a or !b) and (b or c) and (b or d)
Partie XOR: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

En d'autres termes, l'entrée est la formule booléenne suivante:

(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d) .

$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$

Exemple de sortie: satisfaisant: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

Le nombre de clauses 2-SAT et le nombre de clauses XOR dans l'entrée sont tous les deux , où est le nombre de variables booléennes. $O(n)$ $n$

— Albert Hendriks
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ce problème est assez proche, xor au niveau du bit de vecteurs pour égaler un vecteur cible , cstheory.se

— vzn

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Les relations 2-SAT avec XOR peuvent être prouvées NP-complètes par réduction de 3-SAT. Toute clause 3-SAT peut être réécrite dans l'expression équisatisfiable de relations 2-SAT-avec-XOR avec et comme nouvelles variables.

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

(x_{1} \lor \bar{y}) \land (y \oplus x_{2} \oplus z) \land (\bar{z} \lor x_{3})

$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$

y

$y$

z

$z$

— Kyle Jones
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Toutes les réponses semblent être correctes ou utiles, mais j'ai trouvé celle-ci la plus élégante (à mon humble avis).

— Albert Hendriks

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Bonne réponse. Il peut être utile de mentionner que la simple équisatisfisibilité ne serait pas suffisante ici (car les affectations satisfaisantes des expressions correspondant à toutes les clauses d'un CNF satisfaisant peuvent ne pas correspondre), mais votre expression réécrite a en fait une affectation satisfaisante correspondante pour chaque affectation satisfaisante de la clause d'origine.

— Klaus Draeger

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Vous n'avez pas spécifié l'arité de vos relations XOR, mais comme dans la réduction SAT-to-3SAT habituelle, vous pouvez toujours arranger que leur arité soit au plus 3. Maintenant, vous êtes en grande position pour appliquer le théorème de dichotomie de Schaefer , qui vous dire si votre problème est en P ou NP-complet (ce sont les deux seules options). S'il s'avère être en P, la prochaine étape pourrait être de regarder Allender et al. , ce qui vous permettra de savoir à quel point votre problème est facile.

— Yuval Filmus
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Cela ne prend pas en compte la condition qu'il existe des contraintes , mais vous pouvez toujours ajouter des variables fictives pour vous assurer que la condition est remplie.

O (n)

$O(n)$

— Yuval Filmus

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Selon le théorème de dichotomie de Schaefer , c'est NP-complet.

Considérons le cas où toutes les clauses contiennent 2 ou 3 littéraux; on peut alors considérer cela comme un problème de satisfaction de contraintes sur un ensemble de relations d'arité 3. En particulier, les relations sont les suivantes: , , , , . $\Gamma$ $R(x,y,z)$ $x \lor y$ $x \lor \neg y$ $\neg x \lor \neg y$ $x \oplus y \oplus z$ $x \oplus y \oplus \neg z$

Appliquez maintenant le théorème de dichotomie de Schaefer, dans sa forme moderne . Vérifiez chacune des six opérations pour voir s'il s'agit d'un polymorphisme:

Unaire 0: Pas un polymorphisme de . $x \lor y$
Unaire 1: Pas un polymorphisme de . $\neg x \lor \neg y$
ET binaire: Pas un polymorphisme de . (Considérons et ; ils satisfont tous les deux à la relation, mais leur point par point ET ne le fait pas.) $x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
OU binaire: pas un polymorphisme de . (Considérez et ; ils satisfont la relation, mais ne le fait pas.) $\neg x \lor \neg y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$
Majorité ternaire: Pas un polymorphisme de . (Considérons et et ; ils satisfont la relation, mais leur majorité ne le fait pas.) $x \oplus y \oplus z$ $(0,0,1)$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
Minorité ternaire: Pas un polymorphisme de . (Considérez , et ; ils satisfont la relation, mais pas leur minorité .) $x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$ $(0,0,0)$

Il s'ensuit que ce problème est NP-complet, même si vous limitez toutes les clauses XOR à être de longueur au plus 3.

D'un autre côté, si toutes les clauses XOR sont limitées à être de longueur au plus 2, alors c'est en P. En particulier est équivalent à , donc une telle formule est équivalente à une formule 2SAT, dont la satisfiabilité peut être déterminée en temps polynomial. $(x \oplus y)$ $(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$

— DW
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