Existe-t-il une relation concrète entre le théorème d'inachèvement de Gödel, le problème stoppant et les machines de Turing universelles?

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J'ai toujours pensé vaguement que la réponse à la question ci-dessus était affirmative dans les termes suivants. Le théorème d'inachèvement de Gödel et le caractère indécidable du problème qui pose problème, qui sont tous deux des résultats négatifs sur la décidabilité et établis par des arguments diagonaux (et dans les années 1930), doivent donc être en quelque sorte deux manières de voir les mêmes choses. Et je pensais que Turing utilisait une machine universelle de Turing pour montrer que le problème de blocage était insoluble. (Voir aussi cette question math.SE. )

Mais maintenant que (enseignant un cours en calculabilité), je regarde de plus près à ces questions, je suis plutôt déconcerté par ce que je trouve. Je voudrais donc de l'aide pour redresser mes pensées. Je me rends compte que l'argument diagonal de Gödel est très subtil: il faut beaucoup de travail pour construire un énoncé arithmétique qui puisse être interprété comme disant quelque chose sur sa propre dérivabilité. D’autre part, la preuve de l’indécidabilité du problème d’arrêt que j’ai trouvé ici est extrêmement simple et ne mentionne même pas explicitement les machines de Turing, encore moins l’existence de machines de Turing universelles.

Une question pratique à propos des machines de Turing universelles est de savoir s'il est ou non important que l'alphabet d'une machine de Turing universelle soit le même que celui des machines de Turing qu'il simule. Je pensais que cela serait nécessaire pour concocter un bon argument en diagonale (la machine se simulant elle-même), mais je n’ai trouvé aucune attention à cette question dans la collection ahurissante de descriptions de machines universelles que j’ai trouvé sur le net. Si ce n’est pour le problème d’arrêt, est-ce que les machines universelles de Turing sont utiles dans toutes les disputes diagonales?

Enfin je suis confus par cette autre sectiondu même article du WP, selon lequel une forme plus faible de l'incomplétude de Gödel découle du problème insidieux: "une axiomatisation complète, cohérente et solide de toutes les déclarations sur les nombres naturels est irréalisable" où "le son" est censé l'affaiblir. Je sais qu'une théorie est cohérente si on ne peut pas déduire une contradiction, et une théorie complète sur les nombres naturels semblerait signifier que toutes les affirmations vraies sur les nombres naturels peuvent y être dérivées; Je sais que Gödel dit qu'une telle théorie n'existe pas, mais je ne vois pas comment une telle bête hypothétique pourrait ne pas être saine, c'est-à-dire dériver également des déclarations fausses pour les nombres naturels: la négation d'une telle déclaration serait vraie , et donc par complétude également dérivable, ce qui contredirait la cohérence.

J'aimerais des éclaircissements sur l'un de ces points.

— Marc van Leeuwen
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Vous avez un problème conceptuel: la décidabilité algorithmique (problème d’arrêt) et la dérivabilité resp. la faisabilité (logiques) sont deux concepts très différents; vous semblez utiliser la "décidabilité" pour les deux.

— Raphaël

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@Raphael: Je suis très conscient du fait qu'il existe une grande différence conceptuelle entre les énoncés du théorème de l'incomplétude et ceux de l'indécidabilité du problème bloquant. Cependant, la forme négative de l'incomplétude: un système formel suffisamment puissant ne peut pas être à la fois cohérent et complet, se traduit par une déclaration d'indécidabilité: puisque l'ensemble des théorèmes déductibles dans un système formel est semi-décidable par construction, la complétude rendrait l'ensemble des théorèmes déductibles. -les théorèmes sont également décidables (en tant que négations de théorèmes, en supposant une cohérence, ou encore en tant qu'ensemble vide), donc décidables.

— Marc van Leeuwen

oui, en fait, les deux preuves sont extrêmement similaires sur le plan conceptuel et une façon de voir les choses est que Godel a construit une sorte de logique turing-complète en arithmétique. Il y a beaucoup de livres qui soulignent cette équivalence conceptuelle. par exemple Godel Escher Bach de Hofstadter ou empereurs New Mind de Penrose ....

— vzn

Un peu en rapport ... Je me souviens toujours mal de la parabole de Hofstadter dans laquelle la Tortue continue de battre le recordeur d’Achille, comme s’appliquant au problème qui s’arrête. En fait, j'ai trouvé ce fil en (re) cherchant ma confusion. Je pense toujours que le libellé se traduit plus naturellement et directement par le problème qui s’arrête, mais cela n’a aucune compréhension profonde de l’un ou l’autre des théorèmes.

— Micans

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Je vous recommande de consulter le blog de Scott Aaronson sur une preuve du théorème de l'incomplétude via les machines de Turing et le théorème de Rosser. Sa démonstration du théorème d'inachèvement est extrêmement simple et facile à suivre.

— Marcos Villagra
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P

$P$

\neg P

$\lnot P$

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Il existe une autre preuve similaire dans le livre The Nature of Computation ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) dans le chapitre consacré à la calculabilité. Là, les auteurs évitent d'utiliser le théorème de Rosser et supposent uniquement l'existence de machines universelles (comme la thèse de Church-Turing). La référence exacte est la section 7.2.5 page 238.

— Marcos Villagra

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La réponse de Neel Krishnaswami au problème stoppant, ensembles non calculables: preuve mathématique commune? sur CSTheory renvoie à des références reliant les résultats ci-dessus dans le cadre de la théorie des catégories.

— Suresh
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cet article n'est pas mentionné dans la réponse à la mémoire (mais est dans les commentaires de l'article de blog de Andrej Bauer tiré de la réponse), mais constitue probablement aussi une bonne vue d'ensemble.

— Artem Kaznatcheev

Ceci est une connexion basée sur la similarité des preuves, plutôt que sur les implications entre les résultats, n'est-ce pas?

— Raphaël

1

Dans l'article, Artem fait référence à ce que ce sont toutes des manifestations d'un seul fait de catégorie théorique.

— Suresh

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(Ceci est censé être un commentaire sur la réponse de Suresh, mais c'est tout simplement trop long pour y figurer. Je m'excuse par avance, cela ne répond pas vraiment à la question de Marc.)

Je trouve la réponse de Neel Problème stoppant, ensembles non calculables: preuve mathématique commune? sur le blog de CSTheory et Andrej Bauer insatisfaisant pour deux raisons.

$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$

Deuxièmement, la preuve ci-dessus n'est pas satisfaisante car nous voulons également "voir" l'exemple d'un langage indécidable raisonnable. La preuve ci-dessus peut être considérée comme un argument de comptage et n'est donc pas vraiment "constructive" en ce sens. Turing a découvert le problème d’arrêt comme exemple.

— Dai
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+1 C’est une approche plus simple, mais j’en doute encore: "et nous savons donc qu’il doit exister un langage indécidable." Pourriez-vous préciser la différence entre langage indécidable et problème indécidable?

— Hernan_eche

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x \in Σ^{*}

$x\in \Sigma^*$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

L

$L$

P

$P$

L \subseteq Σ^{*}

$L\subseteq \Sigma^*$

N

$\mathbb{N}$

Mais l'argument en diagonale est bien une preuve constructive. En plus de votre réduction au théorème de Cantor, le langage indécidable est l'ensemble de toutes les machines dont le codage n'est pas dans le langage accepté.

— Willard Zhan

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$\mbox{DTIME}(f(n)^3)$ $\mbox{DTIME}(f(n/2))$

$K$ $¬KK$

— jmad
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Pour suffisamment non constant f (n).

— Yonatan N

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"Sinon, les machines universelles de Turing sont-elles utiles dans toutes les disputes diagonales?"

Le théorème de Rice est essentiellement la généralisation de la diagonalisation par rapport aux machines de Turing. Cela montre qu'il n'y a absolument aucune propriété sur les machines Turing que vous puissiez choisir pour toutes les machines Turing avec un seul algorithme, à moins que cette propriété ne soit valable pour toutes les machines Turing ou aucune machine Turing. Notez le fait que la propriété de toutes les machines de Turing ou de toutes les machines de Turing empêche l'objet de diagonalisation d'être une machine de Turing; par conséquent, il ne peut pas figurer en premier lieu sur la liste pour contredire la décision concernant la propriété. En effet c'est le seulCe qui empêche l’objet de diagonalisation de figurer sur la liste et de contredire la décision relative à la propriété, qui correspond à toutes les propriétés des machines de Turing, est indécidable. Ce modèle d'objet de diagonalisation nécessitant d'être membre de la liste d'éléments sur lesquels vous tentez de prendre une décision, et pourtant d'infirmer cette décision, constitue l'abstraction critique que le théorème de Lawvere (référencé dans le lien de la réponse de Suresh) capture afin de généraliser complètement la notion de diagonalisation. Maintenant, sachant par expérience que presque toutes les diagonalisations semblent avoir la propriété commune de conduire à un résultat extrêmement important en logique mathématique, le théorème de Lawvere est donc un outil intéressant.

— stoopkid
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