Preuve du théorème de Karp-Lipton

J'essaie de comprendre la preuve du théorème de Karp-Lipton comme indiqué dans le livre "Computational Complexity: A modern approach" (2009).

En particulier, ce livre déclare ce qui suit:

Théorème de Karp-Lipton

Si NP $\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ , alors PH $= \Sigma^p_2$ .

Preuve: Par le théorème 5.4, pour montrer PH , il suffit de montrer que Π p 2 ⊆ Σ p 2 et en particulier il suffit de montrer que Σ p 2 contient le Π p 2 - langage complet Π 2 SAT.$= \Sigma^p_2$$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma^p_2$$\Pi^p_2$$\Pi_2$

Le théorème 5.4 déclare que

pour tout , si Σ p i = Π p i alors PH = Σ p i . Autrement dit, la hiérarchie s'effondre au ième niveau.$i \geq 1$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$\Sigma_i^p$

Je n'arrive pas à comprendre comment implique Σ p 2 = Π p 2 .$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

Comme question plus générale: cela vaut-il pour chaque , c'est-à-dire que Π p i ⊆ Σ p i implique Σ p i = Π p i pour tout i ≥ 1 ?$i$$\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$i \geq 1$

$L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$$L \in \Pi_i^p$$\bar{L} \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$L \in \Sigma_i^p$. In other words, $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$, and so $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$.

Here's why $L \in \Sigma_i^p$ iff $\bar{L} \in \Pi_i^p$. For concreteness, we take $i = 3$. By definition, $L \in \Sigma_3^p$ if for some P-time predicate $T$,

$$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$$ Similarly $\bar{L} \in \Pi_3^p$ if for some P-time predicate $S$, $$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$$ However, these two statements are equivalent, as a simple invocation of de Morgan's laws shows, together with the fact that P is closed under complementation (take $S = \lnot T$).