Générez des réseaux sans échelle avec des distributions de degrés de loi de puissance en utilisant Barabasi-Albert

J'essaie de reproduire les réseaux synthétiques (graphiques) décrits dans certains articles.

Il est indiqué que le modèle de Barabasi-Albert a été utilisé pour créer des "réseaux sans échelle avec des distributions de degrés de loi de puissance, $P_A(k) ∝ k^{-λ}$ ".

$P_A$ est une distribution de probabilité qui renvoie la probabilité d'un nœud de degré $k$ . Par exemple, $P_A(2)$ indique la probabilité de choisir au hasard un nœud dans le réseau et d'obtenir un nœud de degré 2.

La course moyenne de degré $k$ semble être de 4 dans un article, avec un minimum de $k$ de 2. Aucun mot sur le maximum de $k$ . Dans l'autre papier, ce n'est pas spécifié. Il ne semble pas si important de définir le réseau.

Les valeurs lambda λ sont données, ainsi que le nombre de nœuds $n$ . Les combinaisons sont

n = 50000, λ = 3, 2,7, 2,3, avec dans un papier
n = 4000 et λ = 2,5, ou n = 6000 et λ = 3 dans l'autre article

J'ai cherché des bibliothèques implémentant l'algorithme de Barabasi-Albert et elles semblent exiger des paramètres différents de lambda et du degré moyen. L'un est NetworkX , un autre est GraphStream (implémentation ici ). Ils travaillent de manière similaire et demandent:

n : int - nombre de nœuds
m : int - nombre d'arêtes à attacher d'un nouveau nœud aux nœuds existants; le nombre d'arêtes à ajouter à chaque étape

Comment puis-je calculer les paramètres m pour générer un graphique comparable?

Voici quelques références:

Cascade catastrophique de défaillances dans les réseaux interdépendants, Buldyrev et al. 2010, avec des informations supplémentaires fournies séparément
Petit cluster dans les systèmes cyber physiques, Huang et al. 2014
Cascade catastrophique de défaillances dans les réseaux interdépendants, Havlin et al. 2010, c'est sur l'Arxiv et clarifie quelque peu le premier

Notez que ces articles ont utilisé des «fonctions génératrices» pour étudier analytiquement certaines propriétés de ces graphiques. Cependant, ils exécutent également des simulations sur ces modèles, ils doivent donc avoir généré ces réseaux d'une manière ou d'une autre.

Merci.

— Agostino
source

Soit dit en passant, Mathematica le fait aussi .

— Juho

La réponse courte est que vous ne pouvez pas utiliser ce logiciel tel quel pour obtenir ce que vous voulez. Pour un fixe , le modèle de Barabasi-Albert a toujours la distribution des degrés , quel que soit . La formule exacte pour le degré de probabilité de ce que ces éléments logiciels implémentent (qui est le modèle BA) est $m$ $P_k \sim k^{-3}$ $m$

P_{k} = \frac{2 m (m + 1)}{k (k + 1) (k + 2)}

$P_k = \frac{2m(m+1)}{k(k+1)(k+2)}$

Les articles (avec ) parlent probablement d'une sorte de modèle BA généralisé, je présume. Il serait utile de donner plus de détails (citations complètes) à leur sujet. $\lambda \neq 3$

EDIT: OK, je vais devoir regarder ces références. En attendant, j'ai découvert qu'il y a un package R appelé igraph qui peut faire ce que vous voulez. Le document théorique pertinent / cité utilisé ici est:

"Composants connectés dans des graphiques aléatoires avec des séquences de degrés attendues données" par Fan Chung, Linyuan Lu.

Il contient environ 400 citations dans Google Scholar, c'est donc probablement une méthode largement utilisée. Le dernier article de 2009 cité sur cette page du package R indique clairement que "les réseaux SF contiennent des degrés hétérogènes, et leur distribution suit une loi de puissance, . Pour construire des réseaux SF artificiels, un stochastique modèle appelé le modèle de Chung et Lu (CL) est utilisé. " $P_d(k) \sim k^{-\lambda}$

EDIT2: Je pense que vous avez mal lu Huang et al. «Nous construisons des réseaux synthétiques aléatoires, sans échelle et de petit monde en utilisant respectivement le modèle Erdos-Renyi, le modèle Barabasi-Albert et le modèle Watts et Strogatz [9].» Cela ne dit pas où ils ont obtenu BA pour faire une puissance autre que 3. Il y a une légende de chiffre qui dit "Nous utilisons le modèle d'interdépendance 'k-n' pour coupler deux réseaux synthétiques sans échelle et avec les exposants 2.5 et 3 de la loi de puissance respectivement." Mais cela ne signifie pas qu'ils ont utilisé BA pour ces graphiques à 2,5 degrés. Il y a une figure plus tard qui dit seulement que "le modèle de Barabasi-Albert est utilisé pour générer un réseau sans échelle avec l'exposant de loi de puissance 3." $G_p$ $G_c$

EDIT3: L'article de Buldyrev et al. ne dit pas où ils ont utilisé des graphiques BA. "Résultats de simulation pour P8 en fonction de p pour pour les réseaux SF avec = 3, 2.7, 2.3". Ils ne disent pas comment ils ont obtenu ces graphiques. Ils citent les articles de BA, mais seulement dans une longue liste de 10 articles sur divers modèles de réseaux aléatoires. Le deuxième article de ce groupe par Havlin et al. donne en effet à la p. 5 le modèle BA comme ayant un indéterminé / non spécifié , citant le document BA de 1999. Je ne veux pas vraiment appeler ce papier mal, mais la seule lecture correcte est . Encore une fois, cela ne dit pas comment ils ont généré leur $\lambda$ $\lambda$ $\lambda = 3$ $\lambda = 2.7$ graphiques de leur Fig 8. Je peux voir comment en lisant cet article, vous pouvez conclure que BA peut générer de tels graphiques ... mais il ne le peut pas.

EDIT4: Oui, je l'ai trouvé maintenant dans la version réelle publiée dans Nature "Pour deux réseaux interdépendants sans échelle ² avec des distributions de degrés de loi de puissance, , nous constatons que les critères d'existence du composant géant sont très différents de ceux d'un réseau unique. " La citation est en effet trompeuse de la même manière que dans Halvin et al., Mais ils ne disent pas qu'ils ont utilisé le processus BA pour générer les graphiques. Le passage ne peut être interprété que comme une référence citant BA 1999 pour ce que signifie réseau sans échelle et / ou à l'origine du concept. Dans tous les cas, faites confiance aux mathématiques ... vous pouvez trouver la dérivation de la formule du diplôme BA à de nombreux endroits, y compris le propre document de BA ou plus en détail $P_A(k) \sim P_B(k) / k^{-\lambda}$ dans un livre ultérieur [let] . BA a évidemment compris la généralité de ce qu'ils ont observé, ils ont donc énoncé une loi plus générale (arbitraire ) que ce que leur construction fournit, c'est-à-dire . Comme je l'ai dit précédemment, il existe d'autres méthodes (publiées par la suite par d'autres, par exemple Chung et Lu) pour obtenir un différent , mais elles n'utilisent pas la construction BA, même si leurs graphiques sont correctement appelés sans échelle également. $\lambda$ $\lambda = 3$ $\lambda$

— Pétiller
source

Merci pour la capture. Cependant, ils auraient pu être beaucoup plus clairs que cela. En fait, je manque toujours le paramètre m ici, il y a juste un degré moyen sur la figure 2.

— Agostino

Le premier article cite également BA, juste quand ils parlent de la façon dont ils ont construit le graphique sans échelle "Pour deux réseaux sans échelle interdépendants avec des distributions de degrés de loi de puissance". 2 est une référence au document de BA de 1999.

^{2}

$^{2}$

— Agostino

Parlez-vous du même papier? Je ne trouve pas la chaîne dans arxiv.org/pdf/0907.1182v1.pdf

— Fizz

Non, le premier article auquel je fais référence, par Buldyrev et al., A le même titre mais a été publié en 2010 et n'est malheureusement pas sur l'Arxiv. C'est celui avec une tonne de citations, si vous effectuez une recherche sur Google.

— Agostino

@Agostino: Oui, je l'ai trouvé et je l'ai lu maintenant; voir EDIT4.

— Fizz