Que savons-nous de NP ∩ co-NP et de sa relation avec NPI?

Une AT est passée aujourd'hui pour s'enquérir de certaines choses au sujet du NP et du co-NP. Nous sommes arrivés à un point où j'étais aussi perplexe: à quoi ressemble un diagramme de Venn de P, NPI, NP et co-NP en supposant P ≠ NP (l'autre cas est ennuyeux)?

Il semble y avoir quatre options de base.

1. NP ∩ co-NP = P

   En particulier, co-NPI ∩ NPI = ∅

2. NP ∩ co-NP = P ∪ NPI

   En particulier, co-NPI = NPI?

3. NP ∩ co-NP ⊃ P ∪ NPI ∪ co-NPI

   Une question de suivi dans ce cas est de savoir comment le NPC et le co-NPC sont liés; y a-t-il un chevauchement?

4. Autre chose, c'est en particulier que certains problèmes de NPI sont en co-NP et d'autres ne le sont pas.

Savons-nous ce qui est juste, ou du moins ce qui ne peut pas être vrai?

Les entrées du zoo de la complexité pour NPI et NP ∩ co-NP n'inspirent pas beaucoup d'espoir que tout soit connu, mais je ne suis pas vraiment assez à l'aise dans la théorie de la complexité pour comprendre toutes les autres classes (et leur impact sur cette question) flottant autour de là .

Le fait que P ≠ NP n'exclut pas la possibilité que NP = co-NP, auquel cas NP ∩ co-NP = NP. Donc, pour faire avancer la discussion, supposons que NP ≠ co-NP. Dans ce cas, le corollaire 9 de l' approche uniforme de Schöning pour obtenir des ensembles diagonaux dans les classes de complexité montre qu'il existe un langage dans NP - co-NP qui est NP-intermédiaire. Donc NPI contient strictement (NP ∩ co-NP) - P (notez que chaque langue dans NP ∩ co-NP est dans P ∪ NPI). C'est votre option (4).

En résumé, en supposant P ≠ NP et NP ≠ co-NP, nous obtenons ceci:

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