Types de réductions et définitions associées de la dureté

Soit A à B réductibles, par exemple, . Par conséquent, la machine de Turing accepter a accès à un oracle pour . Soit la machine de Turing acceptant soit et l'oracle de soit . Les types de réductions:A B A M A B O $A \leq B$$A$$B$$A$$M_{A}$$B$$O_{B}$

• Réduction de Turing: peut faire plusieurs requêtes à . O $M_{A}$$O_{B}$

• Réduction de Karp: Aussi appelée "réduction de Turing du temps polynomial": L'entrée de doit être construite en polytemps. De plus, le nombre de requêtes à doit être borné par un polynôme. Dans ce cas: . O B P A = P $O_{B}$$O_{B}$$P^{A} = P^{B}$

• Réduction de Turing de plusieurs: ne peut faire qu'une seule requête à , lors de sa dernière étape. Par conséquent, la réponse oracle ne peut pas être modifiée. Cependant, le temps nécessaire pour construire l'entrée de n'a pas besoin d'être limité par un polynôme. De manière équivalente: ( dénotant une réduction de plusieurs) O B O B ≤ $M_{A}$$O_{B}$$O_{B}$$\leq_{m}$

  $A \leq_{m} B$ si une fonction calculable de telle sorte que .f : Σ ∗ → Σ ∗ f ( x ) ∈ $\exists$$f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$$f(x) \in B \iff x\in A$

• Réduction de cuisson: également appelée "réduction de plusieurs fois du polynôme": réduction de plusieurs fois où le temps nécessaire pour construire une entrée à doit être limité par un polynôme. De manière équivalente: ( dénotant une réduction de plusieurs) ≤ p $O_{B}$$\leq^{p}_{m}$

  $A \leq^p_{m} B$ si une fonction calculable poly-temps telle que .$\exists$ f ( x $f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$$f(x) \in B \iff x\in A$

• Réduction parcimonieuse: Aussi appelé « one-one réduction du temps polynomiale »: Une réduction de Cook où chaque instance de mis en correspondance avec une instance unique de . De manière équivalente: ( dénotant une réduction parcimonieuse)$A$$B$$\leq^{p}_{1}$

  $A \leq^p_{1} B$ si $\exists$ une bijection calculable poly-temps $f: \Sigma^{\ast} \to \Sigma^{\ast}$ telle que $f(x) \in B \iff x\in A$ .

  Ces réductions préservent le nombre de solutions. D'où $\#M_{A} = \#O_{B}$ .

Nous pouvons définir plus de types de réductions en limitant le nombre de requêtes oracle, mais en les laissant de côté, quelqu'un pourrait-il me dire avec bonté si j'ai obtenu correctement la nomenclature des différents types de réductions utilisées. Les problèmes NP-complets sont-ils définis en ce qui concerne la réduction Cook ou la réduction parcimonieuse? Quelqu'un peut-il bien vouloir donner un exemple d'un problème qui est NP-complet sous Cook et non sous une réduction parcimonieuse.

Si je ne me trompe pas, la classe # P-Complete est définie par rapport aux réductions Karp.

Votre définition des réductions parcimonieuses est incorrecte. Vous le confondez avec les réductions polynomiales ponctuelles, ce qui est un cas particulier des réductions de Karp. Ils ne conservent pas le nombre de "solutions". Veuillez consulter cette réponse pour en savoir plus sur les réductions compte tenu du nombre de certificats.

Le reste semble correct, bien qu'il soit généralement préférable de les visualiser dans un graphique en deux dimensions:

• la complexité de la réduction: calculable, temps polynomial, espace logarithmique, etc.
• type d'accès: Turing, plusieurs, un, etc.

Les problèmes NP-complets sont-ils définis en ce qui concerne la réduction Cook ou la réduction parcimonieuse?

$\mathsf{NP}$ dureté et l'exhaustivité sont définies par rapport aux réductions de Karp (polytime plusieurs), pas par Cook ni par parcimonie.

Quelqu'un peut-il bien vouloir donner un exemple d'un problème qui est NP-complet sous Cook et non sous une réduction parcimonieuse.

Prenez le complément de SAT, il est complet pour sous les réductions Cook, il ne semble pas être complet pour sous les réductions Karp. Les réductions Karp incluent les réductions polytime one-one.$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

la classe # P-Complete est définie par rapport aux réductions de Karp

Notez que n'est pas une classe de problèmes de décision, c'est une classe de problèmes de calcul de fonction. Sa dureté et son exhaustivité sont généralement définies par rapport aux réductions de cuisson (polytime Turing). Voir par exemple Arora et Barak, page 346.$\mathsf{\#P}$

$O_B$