Revendication commerciale de pizza de 34 millions de combinaisons

Un commercial de pizza prétend que vous pouvez combiner ses ingrédients à 34 millions de combinaisons différentes. Je ne le croyais pas, alors j'ai dépoussiéré mes compétences de combinatoire rouillée et j'ai essayé de le comprendre. Voici ce que j'ai jusqu'à présent: Sur le site de commande en ligne, j'ai eu le choix

croûte (4 types, choisissez 1)
taille (4 types, choisissez 1) certaines croûtes sont limitées à une certaine taille - ne tenant pas compte de cela, mais aimeraient.
fromage (5 types, choisissez 1)
sauce (4 types, choisissez 1)
niveau de sauce (3 types, choisissez 1)
viandes (9 types, choisissez jusqu'à 9)
non-viandes (15 types, choisissez jusqu'à 15)

J'ai donc pensé que c'était un problème de combinaison (l'ordre n'est pas important) et pas un problème de n choix k, nul est autorisé pour tout sauf la croûte et la croûte, la taille, le fromage, la sauce et le niveau de sauce seraient tous en choisir un seul. Viandes et non-viandes $2^?$ ? Ce serait donc:

croûte $\binom{4}{1}=4$
taille $\binom{4}{1}=4$
fromage $\binom{5}{1}=5$
sauce $\binom{4}{1}=4$
niveau de sauce $\binom{3}{1}=3$
viandes $2^9 = 512$
non viandes $2^{15} = 32768$

À ce stade, je suis bloqué, comment puis-je les combiner pour arriver au nombre total de combinaisons possibles?

J'ai trouvé ce site utile.

ETA: Si je ne tiens pas compte des limitations sur la taille de la croûte - certaines croûtes ne sont disponibles que dans certaines tailles - il y en a plus de 16 milliards; 16,106,127,360 combinaisons disponibles, donc elles étaient un peu décalées.

combinatorics discrete-mathematics

— gebuh
source

Un seul fromage? C'est une raison de commander ailleurs.

— Raphael

Peut-être sont-ils meilleurs en pizza qu'en mathématiques.

— Dave Clarke

Ils ont vraiment, vraiment atteint leur objectif de vous engager avec leur publicité. Peu importe si le nombre de combinaisons est incorrect?

— gnasher729

Peut-être personne, mais c'était un puzzle intéressant qui a mis à profit certaines compétences en mathématiques que je n'ai pas utilisées depuis un certain temps.

— gebuh

Ok, réponse un peu plus détaillée que dans les commentaires.

Le choix de sur se fait par . Donc, pour des choses comme la taille de la pizza, où vous avez 4 options (et vous devez en choisir une, la pizza coz ne peut pas être à la fois moyenne et extra-large en même temps), vous n'avez que options. En effet, . $k$ $n$ ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ $4$ ${4 \choose 1}=\frac{4!}{3!}=4$

La partie intéressante est des choses comme les options sans viande. Vous en avez 15 et pouvez choisir n'importe quel ensemble jusqu'à 15. Mathématiquement, cela signifie . ${15 \choose 0} + {15 \choose 1} + \cdots + {15\choose 15}$

Comme vous l'avez mentionné, il existe une belle formule pour de telles sommes: donc, pour les options non-viande, vous avez options , comme tu dis. (voir ici pour plus de formules).

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) = 2^{i}

$\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^i$

2^{15} = 32768

$2^{15}=32768$

Enfin, pour combiner toutes les options, il vous suffit de les multiplier. Si vous avez 4 tailles possibles et, disons, 4 croûtes possibles, alors vous avez combinaisons différentes au total. $4\times 4=16$

Donc, en multipliant tout ce que vous obtenez, 16.106.127.360, ce qui est supérieur à 34 millions.

— A sonné.
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