La réduction de Karp est-elle identique à la réduction de Levin

Définition: réduction de Karp

Un langage est Karp réductible à un langage B s'il existe une fonction calculable en temps polynomial f : { 0 , 1 } ∗ → { 0 , 1 } ∗ telle que pour chaque x , x ∈ A si et seulement si f ( x ) ∈ B .$A$$B$$f:\{0,1\}^*\rightarrow\{0,1\}^*$$x$$x\in A$$f(x)\in B$

Définition: réduction de Levin

Un problème de recherche est Levin réductible à un problème de recherche V B s'il existe une fonction temporelle polynomiale f que Karp réduit L ( V A ) à L ( V B ) et qu'il existe des fonctions calculables en temps polynomial g et h telles que$V_A$$V_B$$f$$L(V_A)$$L(V_B)$$g$$h$

1. ,$\langle x, y \rangle \in V_A \implies \langle f(x), g(x,y) \rangle \in V_B$

2. $\langle f(x), z \rangle \in V_B \implies \langle x, h(x,z) \rangle \in V_A$

Ces réductions sont-elles équivalentes?

Je pense que les deux définitions sont équivalentes. Pour toutes deux langues A et B , si A est réductible Karp à B , alors A est Levin réductibles à B .$\mathsf{NP}$$A$$B$$A$$B$$A$$B$

Voici ma preuve:

Soit et ¯ x être des instances arbitraires de A tout x ' soit celle de B . Supposons que V A et V B sont des vérificateurs de A et B . Soit y et ¯ y avoir des certificats arbitraires de x et ¯ x selon V A . Soit z soit celle de x ' en fonction de V B .$x$$\overline{x}$$A$$x'$$B$$V_A$$V_B$$A$$B$$y$$\overline{y}$$x$$\overline{x}$$V_A$$z$$x'$$V_B$

Construire de nouveaux vérificateurs et V ′ B avec de nouveaux certificats y ′ et z ′ :$V'_A$$V'_B$$y'$$z'$

$V'_A(x,y'):$

1. : si f ( x ) ≠ f ( ¯ x ) , rejeter. Sinon, sortir V A ( ¯ x , ¯ y ) .$y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$$f(x)\ne f(\overline{x})$$V_A(\overline{x},\overline{y})$
2. : sortie V B ( f ( x ) , z ) .$y'=\langle 1,z\rangle$$V_B(f(x),z)$

$V'_B(x',z'):$

1. : sortie V B ( x ' , z ) .$z'=\langle 0,z\rangle$$V_B(x',z)$

2. : Si x ' ≠ f ( x ) , rejeter. Sinon, sortir V A ( x , y ) .$z'=\langle 1,x,y\rangle$$x'\ne f(x)$$V_A(x,y)$

Les fonctions calculables polynomiales en temps et h sont définies comme suit:$g$$h$

$g(x,y')$

1. : Sortie ⟨ 1 , ¯ x , ¯ y ⟩ .$y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$$\langle 1,\overline{x},\overline{y}\rangle$

2. : Sortie ⟨ 0 , z ⟩ .$y'=\langle 1,z\rangle$$\langle 0,z\rangle$

$h(x',z')$

1. : Sortie ⟨ 1 , z ⟩ .$z'=\langle 0,z\rangle$$\langle 1,z\rangle$

2. : Sortie ⟨ 0 , x , y ⟩ .$z'=\langle 1,x,y\rangle$$\langle 0,x,y\rangle$

Soit l'ensemble de tous les certificats de x selon V A et Z x ' l'ensemble de tous les certificats de x ' en fonction de V B . Alors l'ensemble de tous les certificats de x selon V ′ A est 0 ¯ x Y ¯ x + 1 Z f ( x ) tel que f ( x ) = f ( ¯ x$Y_x$$x$$V_A$$Z_{x'}$$x'$$V_B$$x$$V'_A$$0\overline{x}Y_\overline{x}+1Z_{f(x)}$$f(x)=f(\overline{x})$, et l'ensemble de tous les certificats de selon V ′ B est 0 Z x ′ + 1 ¯ x Y ¯ x tels que x ′ = f ( ¯ x ) .$x'$$V'_B$$0Z_{x'}+1\overline{x}Y_\overline{x}$$x'=f(\overline{x})$

(Ceci est dérivé du langage d'acceptation de et V ′ B. )$V'_A$$V'_B$

Soit maintenant , la partie restante est facile à vérifier.$x'=f(x)$

Non. Tout d'abord, notez que la réduction Levin n'a de sens que pour les classes dont le certificat a une signification, par exemple alors que la réduction Karp est générale. Le mot «certificat» pour un problème n'a de sens que lorsqu'un vérificateur est fixé. La réduction de Levin suppose que les vérificateurs sont fixes. Vous ne pouvez pas modifier les vérificateurs. (Dans ce qui suit, je suppose que les vérificateurs de certificats sont fixés comme requis par la définition de la réduction Levin.)$\mathsf{NP}$

Deuxièmement, la réduction de Levin signifie que l'on peut trouver le certificat pour l'un à partir du certificat pour l'autre. Il est vrai que les réductions bien connues de Karp entre les problèmes naturels se révèlent être la réduction de Levin mais cela n'a pas besoin d'être vrai en général.

Si nous pouvons réduire les instances d'un problème au problème B, cela ne signifie pas que nous avons un moyen de calculer un certificat pour l'un à partir d'un certificat pour l'autre.$A$$B$

Pour que cela soit vrai, nous avons besoin du fait qu'un problème de recherche de certificat correspondant au problème de décision est un temps polynomial réductible au problème de décision. Cela est vrai pour les problèmes mais n'est pas connu comme étant généralement vrai même pour les problèmes N $\mathsf{NP\text{-}complete}$$\mathsf{NP}$

$x_1, x_2 \in L_1$$f(x_1) = f(x_2) \in L_2$$w$$x_1$$x_2$

$M_1'(x_1,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_1,w)=1$

$M_1'(x_2,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_2,w)=0$

$g(x_1,\langle 0,w \rangle) = \langle 1,x_1,w \rangle$

$f(x_1)=f(x_2)$$M'_2(f(x_2),\langle 1,x_1, w \rangle)) = M_1(x_1,w) = 1$$\langle 1,x_1, w \rangle$$f(x_2)$ mais

$h(f(x_2), \langle 1,x_1, w \rangle) = \langle 0, w \rangle$$x_2$