Prouver que tous les deux plus longs chemins ont au moins un sommet en commun

Si un graphe est connecté et n'a pas de chemin d'une longueur supérieure à , prouver que tous les deux chemins en de longueur ont au moins un sommet en commun. $G$ $k$ $G$ $k$

Je pense que ce sommet commun devrait être au milieu des deux chemins. Parce que si ce n'est pas le cas, nous pouvons avoir un chemin de longueur . Ai-je raison? $>k$

graph-theory graphs combinatorics

— Saurabh
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Contre-exemple pour un graphe orienté peu connecté: les sommets

, les arêtes

, les chemins

n'ont pas de sommet commun.

A, B, C, D

$A,B,C,D$

A \to C

$A \to C$

A \to D

$A \to D$

B \to D

$B \to D$

A \to C

$A \to C$

B \to D

$B \to D$

— sdcvvc

@sdcvvc, vous pouvez le fournir comme réponse.

@sdcvvc Je suppose que la question se limite aux graphiques non orientés.

— Raphael

Pouvez-vous confirmer (ou infirmer) que

est un graphe non orienté et que vous ne considérez que des chemins simples (= sans cycle)?

G

$G$

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'

@Gilles Oui, le graphique n'est pas orienté et le chemin est une promenade qui contient des bords et des sommets distincts.

— Saurabh

Réponses:

On suppose que la contradiction $P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$ et $P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$ sont deux chemins de $G$ de longueur $k$ sans sommets communs.

Comme $G$ est connecté, il existe un chemin $P'$ reliant $v_{i}$ à $u_{j}$ pour certains $i,j \in [1,k]$ telle sorte que $P'$ ne partage aucun sommet avec $P_{1} \cup P_{2}$ autre que $v_{i}$ et $u_{j}$ . Dis $P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$ (note qu'il peut y avoir pas $x_{i}$ sommets, c. $b$ peut être $0$ - la notation est un peu déficient de bien).

Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que $i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$ (on peut toujours inverser la numérotation). Ensuiteon peut construire un nouveau chemin $P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$ (en allant le long de $P_{1}$ à $v_{i}$ , puistravers le pont formé par $P'$ à $u_{j}$ , puis le long de $P_{2}$ à $u_{0}$ ).

Il est évident que $P^{*}$ a une longueur d'au moins $k+1$ , mais cela contredit l'hypothèse selon laquelle $G$ n'a pas de chemins de longueur supérieure à $k$ .

Donc, deux chemins de longueur $k$ doivent se croiser sur au moins un sommet et votre observation qu'il doit être au milieu (s'il n'y en a qu'un) suit comme vous l'avez raisonné.

— Luke Mathieson
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Je pense que vous avez besoin de

, sinon le nouveau chemin n'est pas nécessairement plus long. Notez que

est possible.

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

b = 0

$b=0$

— Raphael

@Raphael Oui, je ne l'ai pas explicitement déclaré (et utilisé une notation légèrement trompeuse), mais

peut très bien être

, le pont ajoute toujours au moins une arête, même si les seuls sommets de

sont

. Sur le premier point, notons que j'ai construit le chemin à partir de

, donc

b

$b$

0

$0$

P^{'}

$P'$

v_{i}

$v_{i}$

u_{j}

$u_{j}$

v_{0} \to v_{i} \to u_{j} \to u_{0}

$v_{0} \rightarrow v_{i} \rightarrow u_{j}\rightarrow \mathbf{u_{0}}$

raison. Si elle est passée à

alors

j \geq ⌈ \frac{k}{2} ⌉

$j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$

u_{k}

$u_{k}$

j \leq ⌊ \frac{k}{2} ⌋

$j \leq \lfloor\frac{k}{2}\rfloor$

Vous avez raison de dire que le sommet commun doit apparaître au milieu des deux chemins.

Cependant, cette intuition ne résoudra pas le problème réel que vous essayez de résoudre.

Au lieu de cela, essayez de démontrer que, étant donné n'importe quel point du chemin, le segment de chemin de (et y compris) ce point à l'une des extrémités du chemin d'origine doit avoir strictement plus de la moitié du nombre de nœuds comme le chemin complet.

Une fois que vous l'avez démontré, vous pourrez à la fois résoudre le problème qui vous a été posé et vérifier votre conjecture.

— btilly
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