Intersection et union d'une langue régulière et d'une langue non régulière

Soit régulier, régulier, non régulier. Montrez que n'est pas régulier ou donnez un contre-exemple. $L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

J'ai essayé ceci: Regardez . Celui-ci est régulier. Je peux construire un automate fini pour cela: est régulier, est régulier, donc supprimez tous les chemins (quantité finie) pour de la quantité finie de chemins pour . Il reste donc une quantité limitée de chemins pour tout cela. Cette chose est disjointe de , mais comment puis-je prouver que l'union de (régulière) et (non régulière) n'est pas régulière? $L_1 \setminus (L_2 \cap L_1)$ $L_1$ $L_2 \cap L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \setminus (L_1 \cap L_2)$ $L_2$

formal-languages regular-languages

— Kevin
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"donc supprimez tous les chemins (quantité finie) pour de la quantité finie de chemins pour " - qu'est-ce que cela est censé signifier? La façon habituelle de construire un automate pour la différence est d'utiliser et les constructions bien connues pour le complément et l'intersection.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1\cap L_2$

L_{1}

$L_1$

A ∖ B = A \cap \bar{B}

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

— Raphael

Je préfère changer le titre de cette question. En soi, le titre de la question est une mauvaise déclaration.

— nitishch

Réponses:

Nous pouvons le prouver par contradiction. Permet de définir . Ensuite, nous pouvons reformuler : $\overline{L_1} = \Sigma^* \setminus L_1$ $L_2$

$L_2 = ((L_1 \cup L_2) \setminus L_1) \cup (L_1 \cap L_2) = ((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$

Nous savons:

Les langues régulières sont fermées sous union, intersection et complément
$\overline{L_1}$ et sont réguliers $L_1 \cap L_2$
$L_2$ n'est pas régulier

Supposons maintenant que est régulier: Alors est régulier (car il ne s'agit que d'une union / intersection de langues régulières), donc serait régulier. C'est une contradiction, donc notre hypothèse est fausse, et ne peut pas être régulier. $L_1 \cup L_2$ $((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

— Mike B.
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Je crois que j'ai compris. Mais pourquoi le complément d'une langue régulière est-il régulier? Je ne comprends pas cette partie.

— Kevin

@Kevin C'est un lemme bien connu, vous devriez donc trouver une preuve dans n'importe quel manuel. Une méthode de preuve consiste à prendre un automate fini et à permuter les états acceptant et non acceptant: vous obtenez un automate qui reconnaît le langage du complément.

— Gilles 'SO- arrête d'être méchant'

Et qu'en est-il des automates finis non déterministes? Supposons que nous ayons un automate. , un état initial, deux flèches de cet état avec à un autre état. L'un de ces États accepte et l'autre non. Donc . Si nous échangeons maintenant les états accepteurs, il acceptera toujours , donc il ne considère pas que celui qui accepte la langue du complément!

A = {a, b}

$A = \{a,b\}$

a

$a$

L (M) = {a}

$L(M)=\{a\}$

{a}

$\{a\}$

— Kevin

La preuve de Gilles ne fonctionne que pour les automates finis déterministes qui - pour les langages réguliers - ne sont pas une restriction. Mais comme il l'a dit, ce lemme peut être trouvé dans n'importe quel manuel.

— Mike B.

@Kevin: Mike signifie que chaque langue régulière a un automate déterministe pour le reconnaître afin que vous puissiez toujours en utiliser un.

— reinierpost

-4

C'est faux. Considérez , . est régulier, ne l'est pas; mais . $L_1 = \{a, b\}^*$ $L_2 = \{a^n b^n : n \ge 0\}$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \cup L_2 = L_1$

— vonbrand
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Vous n'avez pas satisfait à la condition que est régulière.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Andrej Bauer