Le 10ème problème de Hilbert et «l'ordinateur» de l'équation diophantienne de Chaitin?

Dans les méta-mathématiques de Chaitin ! The Quest For Omega , il parle brièvement du 10ème problème de Hilbert. Il dit ensuite que toute équation diophantienne peut être changée en deux polynômes égaux avec des coefficients entiers positifs: p = $p=0$ .$p=0 \iff p_1 = p_2$

Puis il dit que nous pouvons penser à ces équations comme un "ordinateur":

Diophantine équation Ordinateur : Programme: k , sortie: n , Durée: x , y , z , . .

$$L(k,n,x,y,z,...)=R(k,n,x,y,z,...)$$ $k$ $n$ $x,y,z,...$

Avec le côté gauche , côté droit R . Il dit que k est le programme de cet ordinateur, qui produit n . Il dit également que les inconnues sont une variable temporelle multidimensionnelle .$L$$R$$k$$n$

Ce qui m'embrouille, c'est qu'il dit ensuite que le 10ème problème de Hilbert n'est clairement pas résoluble vu de cette façon. Il dit essentiellement "à cause du problème de l'arrêt de Turing". Mais je ne vois pas le lien (je commence tout juste à apprendre la théorie). J'espérais que quelqu'un pourrait expliquer plus clairement quel est le point de Chaitin ici.

Je sais que le problème de l'arrêt de Turing indique essentiellement que vous ne pouvez pas prédire quand un programme s'arrêtera avant qu'il ne s'arrête réellement (étant donné un laps de temps fini). Quelle est l'application au 10ème problème de Hilbert, en utilisant la notation établie par Chaitin?

Bonne question. Il semble que vous ayez besoin de quelques informations supplémentaires sur le 10ème problème de Hilbert. J'espère que ce n'est pas exagéré.

Le problème demande:

Existe-t-il un algorithme qui, étant donné un polynôme diophantien, décide s'il existe ou non un réglage de ses variables qui le rend égal à ?$0$

Cela a été résolu dans les années 70 à la suite du MRDP (également appelé théorème de Matiyasevich, si vous avez envie de le rechercher) qui stipule:

Définir: Un ensemble est diophantien s'il y a un polynôme diophantien p sur k + 1 entrées tel que D = { $D \subset \mathbb{N}$$p$$k+1$ .$D = \{ x \, | \, \exists y \in \mathbb{R}_+^k \, p(x, y) = 0\}$

Les ensembles diophantiens sont précisément ceux qui sont reconnaissables par les machines Turing.

Ce théorème est évident dans une direction (chaque ensemble diophantien est reconnaissable par une machine de Turing - sur l'entrée , demandez simplement à votre machine de deviner les vecteurs$x$$y \in \mathbb{R}_+^k$$p(x, y)$$p(x, y) = 0$

Quoi qu'il en soit, comment le théorème MRDP résout-il le 10ème problème de Hilbert? Bien...

$p(y)$$y$$p(y) = 0$

$M$$x$$p(y | x)$$0$

$p(y) = 0$