Algorithme pour trouver le diamètre d'un arbre en utilisant BFS / DFS. Pourquoi ça marche?

Ce lien fournit un algorithme pour trouver le diamètre d'un arbre non orienté à l' aide de BFS / DFS . Résumant:

Exécutez BFS sur tous les nœuds du graphique, en vous souvenant du nœud que vous avez découvert en dernier. Exécutez BFS à partir de u en vous souvenant du nœud v découvert en dernier. d (u, v) est le diamètre de l'arbre.

Pourquoi ça marche?

La page 2 de ceci fournit un raisonnement, mais c'est déroutant. Je cite la partie initiale de la preuve:

Exécutez BFS sur tous les nœuds du graphique, en vous souvenant du nœud que vous avez découvert en dernier. Exécutez BFS à partir de u en vous souvenant du nœud v découvert en dernier. d (u, v) est le diamètre de l'arbre.

Exactitude: Soit a et b deux nœuds quelconques tels que d (a, b) soit le diamètre de l'arbre. Il existe un chemin unique de a à b. Soit t le premier nœud sur ce chemin découvert par BFS. Si les chemins de s à u et de a à b ne partagent pas de bords, alors le chemin de t à u inclut s. Alors$p_1$$p_2$

$d(t,u) \ge d(s,u)$

$d(t,u) \ge d(s,a)$

.... (plus d'inégalités suivent ..)

Les inégalités n'ont pas de sens pour moi.

Toutes les parties de la preuve de la revendication reposent sur 2 propriétés cruciales des arbres aux bords non orientés:

• 1-connectivité (c'est-à-dire qu'entre 2 nœuds dans un arbre, il y a exactement un chemin)
• n'importe quel nœud peut servir de racine de l'arbre.

Choisissez un nœud d'arbre arbitraire . Supposons que u , v ∈ V ( G ) sont des nœuds avec d ( u , v ) = d i a m ( G ) . Supposons en outre que l'algorithme trouve un nœud x commençant par s en premier, un nœud y commençant par x ensuite. wlog d ( s , u ) ≥ d ( s , v ) . Notez que$s$$u, v \in V(G)$$d(u,v) = diam(G)$$x$$s$$y$$x$$d(s,u) \geq d(s,v)$ doit tenir, à moins que la première étape de l'algorithme ne se termine pas à x . Nous verrons que d ( x , y ) = d ( u , v ) .$d(s,x) \geq d(s,y)$$x$$d(x,y) = d(u,v)$

La configuration la plus générale de tous les nœuds impliqués peut être vue dans les pseudo-graphiques suivants (éventuellement ou s = z x y ou les deux):$s = z_{uv}$$s = z_{xy}$

(u)                                            (x)
  \                                            /
   \                                          /
    \                                        /
     ( z_uv )---------( s )----------( z_xy )
    /                                        \
   /                                          \
  /                                            \
(v)                                            (y)

nous savons que:

1. . sinon d ( u , v ) < d i a m ( G ) contredisant l'hypothèse.$d(z_{uv},y) \leq d(z_{uv},v)$$d(u,v) < diam(G)$
2. . sinon d ( u , v ) < d i a m ( G ) contredisant l'hypothèse.$d(z_{uv},x) \leq d(z_{uv},u)$$d(u,v) < diam(G)$
3. , sinon l'étape 1 de l'algorithme ne se serait pas arrêtée à x .$d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u)$$x$
4. , sinon l'étape 2 de l'algorithme ne se serait pas arrêtée à y .$d(z_{xy},y) \geq d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy})$$y$

1) et 2) impliquent .$\, \\ d(u,v) = d(z_{uv},v) + d(z_{uv},u) \\ \qquad\geq d(z_{uv},x) + d(z_{uv},y) = d(x,y) + 2\, d(z_{uv}, z_{xy}) \\ \qquad\qquad\geq d(x,y)$

3) et 4) impliquent $\, \\ d(z_{xy},y) + d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u) + d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy}) \qquad\qquad\qquad\qquad \\ \,$ équivalent à .$\, \\ d(x,y) = d(z_{xy},y) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq 2*\,d(s,z_{uv}) + d(v,z_{uv}) + d(u,z_{uv}) \\ \qquad\qquad\geq d(u,v)$

donc .$d(u,v) = d(x,y)$

les épreuves analogiques tiennent pour les configurations alternatives

                 (u)                          (x)
                   \                          /
                    \                        /
                     \                      /
     ( s )---------( z_uv )----------( z_xy )
                     /                      \
                    /                        \
                   /                          \
                 (v)                          (y)

et

                          (x)        (u)  
                          /            \  
                         /              \ 
                        /                \
     ( s )---------( z_xy )----------( z_uv )
                        \                /          
                         \              /           
                          \            /            
                          (y)        (v)            

ce sont toutes des configurations possibles. en particulier, raison du résultat de l'étape 1 de l'algorithme et y ∉ p a t h ( x , u ) , y ∉ p a t h ( x , v ) en raison de l'étape 2.$x \not\in path(s,u), x \not\in path(s,v)$$y \not\in path(x,u), y \not\in path(x,v)$

L'intuition derrière est très facile à comprendre. Supposons que je dois trouver le chemin le plus long qui existe entre deux nœuds dans l'arbre donné.

Après avoir dessiné quelques diagrammes, nous pouvons observer que le chemin le plus long se produira toujours entre deux nœuds feuilles (nœuds ayant un seul bord lié). Cela peut également être prouvé par la contradiction que si le chemin le plus long se situe entre deux nœuds et que l'un des deux nœuds ou les deux ne sont pas un nœud feuille, nous pouvons étendre le chemin pour obtenir un chemin plus long.

Donc, une façon consiste à vérifier d'abord quels nœuds sont des nœuds feuilles, puis de démarrer BFS à partir d'un des nœuds feuilles pour obtenir le nœud le plus éloigné.

Au lieu de trouver d'abord quels nœuds sont des nœuds feuilles, nous démarrons BFS à partir d'un nœud aléatoire et voyons ensuite quel nœud en est le plus éloigné. Soit le nœud le plus éloigné x. Il est clair que x est un nœud feuille. Maintenant, si nous démarrons BFS à partir de x et vérifions le nœud le plus éloigné, nous obtiendrons notre réponse.

Mais quelle est la garantie que x sera le point final d'un chemin maximum?

Voyons par un exemple: -

       1   
    / /\ \
   6 2  4 8
         \ \
          5 9
           \
            7

Supposons que j'ai commencé mon BFS à partir de 6. Le nœud à la distance maximale de 6 est le nœud 7. En utilisant BFS, nous pouvons obtenir ce nœud. Maintenant, nous observons BFS à partir du nœud 7 pour obtenir le nœud 9 à la distance maximale. Le chemin du nœud 7 au nœud 9 est clairement le chemin le plus long.

Et si BFS qui partait du nœud 6 donnait 2 comme nœud à la distance maximale. Ensuite, lorsque nous passerons de 2 à BFS, nous obtiendrons 7 comme nœud à la distance maximale et le chemin le plus long sera alors 2-> 1-> 4-> 5-> 7 avec la longueur 4. Mais la longueur de chemin la plus longue réelle est 5. Cela ne peut pas se produire parce que BFS du nœud 6 ne donnera jamais le nœud 2 comme nœud à la distance maximale.

J'espère que ça t'as aidé.

Voici une preuve qui suit de plus près l'ensemble de solutions MIT lié dans la question d'origine. Pour plus de clarté, j'utiliserai la même notation qu'ils utilisent afin que la comparaison puisse être faite plus facilement.

Supposons que nous ayons deux sommets et b tels que la distance entre a et b sur le chemin p ( a , b ) soit un diamètre, par exemple la distance d ( a , b ) est la distance maximale possible entre deux points quelconques de l'arbre. Supposons que nous ayons également un nœud s ≠ a , b (si s = a , alors il serait évident que le schéma fonctionne, puisque le premier BFS obtiendrait b , et le second reviendrait à a). Supposons également que nous ayons un nœud$a$$b$$a$$b$$p(a, b)$$d(a, b)$$s \neq a, b$$s = a$$b$ tel que d ( s , u ) = max x d ( s , x ) .$u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$

Lemme 0: et b sont des nœuds foliaires.$a$$b$

Preuve: S'ils n'étaient pas des nœuds foliaires, nous pourrions augmenter en étendant les extrémités aux nœuds foliaires, contredisant d ( a , b ) étant un diamètre.$d(a,b)$$d(a, b)$

$\max [d(s,a), d(s, b)] = d(s, u)$

$d(s, a)$$d(s,b)$$d(s, u)$

Cas 1: chemin $p(a, b)$ne contient pas de sommet$s$. In this case, $d(a, b)$ cannot be the diameter. To see why, let $t$ be the unique vertex on $p(a, b)$ avec la plus petite distance à $s$. Ensuite, nous voyons que$d(a, u) = d(a, t) + d(t, s) + d(s, u) > d(a, b) = d(a, t) + d(t, b)$, since $d(s, u) > d(s, b) = d(s, t) + d(t, b) > d(t, b)$. Similarly, we would also have $d(b, u) > d(a, b)$. This contradicts $d(a, b)$ being a diameter.

Case 2: path $p(a, b)$ contains vertex $s$. In this case, $d(a, b)$ again cannot be the diameter, since for some vertex $u$ such that $d(s, u) = \max_x d(s, x)$, both $d(a, u)$ and $d(b, u)$ would be greater than $d(a, b)$.

Lemma 1 gives the reason why we start the second Breadth-First search at the last-discovered vertex $u$ of the first BFS. If $u$ is the unique vertex with the greatest possible distance from $s$, then by Lemma 1, it must be one of the endpoints of some path with a distance equal to the diameter, and hence a second BFS with $u$ as the root unambiguously finds the diameter. On the other hand, if there is at least one other vertex $v$ such that $d(s, v) = d(s, u)$, then we know that the diameter is $d(a, b) = 2d(s, u)$, and it doesn't matter whether we start the second BFS at $u$ or $v$.

First run a DFS from a random node then the diameter of a tree is the path between the deepest leaves of a node in its DFS subtree:

By the definition of BFS, the distance (from the starting node) of each node explored is either equal to the distance of the previous node explored or greater by 1. Thus, the last node explored by BFS will be among those farthest from the starting node.

Thus, the algorithm of using BFS twice amounts to "Pick an arbitrary node $x$. Find the node $a$ farthest from $x$ (last node found by BFS starting from $x$). Find the node $b$ farthest from $a$ (last node found by BFS starting from $a$).", which thus finds two nodes of maximum distance from eachother.

Une chose clé à savoir est qu'un arbre est toujours plan, ce qui signifie qu'il peut être disposé sur un plan, donc la pensée bidimensionnelle ordinaire fonctionne souvent. Dans ce cas, l'algorithme dit de commencer n'importe où, d'aller aussi loin que possible. La distance entre ce point et le plus loin possible de ce point est la plus longue distance dans l'arbre, et donc le diamètre.

Cette méthode fonctionnerait également pour trouver le diamètre d'une véritable île physique si nous la définissions comme le diamètre du plus petit cercle qui entourerait complètement l'île.

@op, the way the cases are defined in the PDF may be a bit off.

I think that the two cases should be:

1. $p_1$ does not intersect with $p_2$, i.e. there are no common vertices between paths $p_1$ and $p_2$. In this case, define $t$ as the first node on $p_2$ discovered by the first BFS starting at $s$.

2. $p_1$ and $p_2$ have at least one common vertex. In this case, define $t$ to be the first node on $p_2$ discovered by the first BFS that is also on $p_1$.

The rest of the proof in the PDF should follow.

With this definition, the figure shown by OP falls into Case 2.