L'étoile Kleene d'une langue unaire infinie donne toujours une langue régulière

Laisser $L = \{a^n \mid n \ge 0\}$, où $a^0 = \epsilon$ et $a^n = a^{n-1}a$ pour tous $n \ge 1$.

Donc $L$ se compose de séquences de $a$ de toutes les longueurs, y compris une séquence de longueur $0$. Laisser$L_2$ être un sous-ensemble infini de $L$. Je dois montrer qu'il existe toujours un DFA à reconnaître$L_2^*$.

Si $L_2$ est un sous-ensemble fini, il est très évident que $L_2$ serait un DFA et donc par la fermeture de Kleene $L_2^*$serait reconnu par un DFA. Mais je ne peux pas l'obtenir pour un sous-ensemble infini$L_2$ peut ne pas être exprimé en DFA lorsque, par exemple, les longueurs de chaîne sont premières.

Supposons qu'il y ait deux mots dans la langue dont les longueurs sont relativement premières. Que ces longueurs soient$x$ et $y$. Nous savons (voir ceci ) qu'en ajoutant ces nombres les uns aux autres à plusieurs reprises, nous pouvons obtenir n'importe quel nombre supérieur à$(x - 1)(y - 1) - 1$. Donc si$x$ et $y$ sont $13$ et $7$, nous pouvons écrire n'importe quel nombre supérieur à $72$ comme une combinaison linéaire de $7$ et $13$. Ce que cela signifie pour nous:$L_2^*$ se compose d'une langue arbitraire finie (régulière, comme toutes les langues finies), en union avec la langue $\{w \in a^* \mid |a| > (x-1)(y-1)-1\}$. Cette langue est régulière car c'est la langue de tous les mots avec un ensemble fini de mots supprimés. Depuis$L_2^*$ est une union de langues régulières, elle doit aussi être régulière.

Si tous les mots $L_2^*$ ont des longueurs qui partagent un plus grand facteur commun (appelez ce facteur commun $m$), puis répétez l'argument ci-dessus, mais au lieu d'utiliser des longueurs de chaîne, utilisez des longueurs de chaîne divisées par $m$. Dans ce cas,$L_2^*$ sera la concaténation d'une langue finie arbitraire (régulière) et la langue $\{w \in (a^m)^* \mid |w| > m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1]\}$, également régulier (puisque $ (a ^ m) ^ * est régulier et nous en supprimons un nombre fini de mots).

Par exemple, supposons que tous les mots de $L$ avoir un GCF de 2, et la langue contient les mots $a^4$ et $a^{10}$. On a$m = 2$, $x/m = 4/2 = 2$, et $y/m = 10/2 = 5$, qui sont relativement premiers. Par conséquent, nous savons que nous pouvons obtenir n'importe quel mot dont la longueur est multiple de$m$ si la longueur est supérieure à $m^2[(x/m - 1)(y/m - 1) - 1] = 2^2[(2 - 1)(5 - 1) - 1] = (4)(3) = 12$ en concaténant $a^4$ et $a^{10}$.