Partitionner une langue régulière infinie en 2 langues régulières infinies disjointes

Étant donné une langue régulière infinie $L$, comment puis-je prouver que $L$ peut être partitionné en 2 langages réguliers infinis disjoints $L_1, L_2$? C'est:$L_1 \cup L_2 = L$, $L_1 \cap L_2 = \varnothing$, et $L_1$ et $L_2$ sont à la fois infinies et régulières.

Jusqu'à présent, j'ai pensé à:

1. en utilisant le lemme de pompage de telle sorte que

   $$\begin{gather} L_1 &= \{ xy^nz \mid \text{\(n\) is even} \} \\ L_2 &= \{ xy^mz \mid \text{\(m\) is odd} \} \\ \end{gather}$$ mais n'a pas pu prouver qu'ils sont dijoints ou couvrants $L$ complètement.

2. Utilisation des partitions de langue standard $\Sigma^*$ en classes d'équivalence dijointes, mais je n'ai pas compris comment déterminer si une classe d'équivalence est régulière ou infinie.

Laisser $S = \{ |w| : w \in L \}$. Le théorème de Parikh montre que$S$est un ensemble éventuellement périodique. Que l'éventuelle période soit$\ell$. Depuis$L$ est infini, il y a un certain décalage $a$ tel que $a + k\ell \in S$ pour tous $k \geq 0$. Ainsi la langue est infini (il contient tous les mots de longueur pour certains ), et le langage est également infini (il contient tous mots de longueur pour certains , ainsi que éventuellement d'autres mots). Je vous laisse montrer que sont tous deux réguliers.$L_1 = \{ w \in L : |w| \equiv a \pmod{2\ell} \}$$a + 2k\ell$$k \geq 0$$L_2 = L \setminus L_1$$a + (2k+1)\ell$$k \geq 0$$L_1,L_2$

Chaque langue régulière est acceptée par un DFA minimal. Pour un langage régulier infini , appelons un tel DFA . Considérons tout état qui peut être visité plus d'une fois lors du traitement de la ficelle dans . Si peut être visité plusieurs fois, il s'ensuit qu'il peut être visité un certain nombre de fois. Définir et Il s'agit d'un DFA, il n'y a donc qu'un seul chemin. Toute chaîne en$L$$M_L$$q$$L$$q$

$$L_1 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an odd number of times}\}$$ $$L_0 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an even number of times}\}$$ $L$est accepté par le DFA et doit visiter l'État un certain nombre de fois (peut-être zéro). L'État peut être visité un nombre illimité de fois; par conséquent, nous savons qu'il existe une infinité de chaînes dans (car il y a des mots qui provoquent la visite de l'état 1 fois, 3 fois, etc.) et qu'il existe une infinité de chaînes dans (car il y a des mots qui provoquent la à visiter 0 fois, 2 fois, etc.). Une chaîne donnée est soit dans ou , et ne peut pas être dans les deux, donc . Cependant, tout mot dans est assuré d'être dans l' un de ces deux ensembles, de sorte .$L_1$$L_0$$L_1$$L_0$$L_0 \cap L_1 = \emptyset$$L$$L_0 \cup L_1 = L$