Pompage du lemme pour les langues régulières finies simples

Wikipedia a la définition suivante du lemme de pompage pour les langages réguliers ...

Soit $L$ une langue régulière. Il existe alors un entier $p$ ≥ 1 dépendant uniquement de $L$ tel que chaque chaîne $w$ dans $L$ de longueur au moins $p$ ( $p$ est appelé la "longueur de pompage") puisse s'écrire $w$ = $xyz$ (c'est-à-dire que $w$ peut être divisé en trois sous-chaînes), remplissant les conditions suivantes:

1. | $y$ | ≥ 1
2. | $xy$ | ≤ $p$
3. pour tout $i$ ≥ 0, $xy^iz$ ∈ $L$

Je ne vois pas comment cela est satisfait pour un langage régulier fini simple. Si j'ai un alphabet de { $a,b$ } et une expression régulière $ab$ alors $L$ compose d'un seul mot qui est $a$ suivi de $b$ . Je veux maintenant voir si ma langue régulière satisfait le lemme de pompage ...

Comme rien ne se répète dans mon expression régulière, la valeur de $y$ doit être vide pour que la condition 3 soit satisfaite pour tout $i$ . Mais si c'est le cas, il échoue à la condition 1 qui dit que $y$ doit avoir au moins 1 longueur!

Si au contraire je laisse être soit a , $y$$a$$b$ ou alors il satisfera la condition 1 mais échouera à la condition 3 car il ne se répète jamais réellement.$ab$

De toute évidence, il me manque quelque chose d'esprit incroyablement évident. Lequel est?

Vous avez raison - nous ne pouvons pas permettre de "pomper" les mots d'un fini . Ce qui vous manque, c'est que le lemme dit qu'il existe un nombre $L$$p$ , mais ne nous dit pas le nombre.

Tous les mots plus longs que peuvent être pompés par le lemme. Pour un fini L , il se trouve que p est plus grande que la longueur du mot le plus long en L . Ainsi, le lemme ne tient que de façon vide et ne peut être appliqué à aucun mot de L , c'est-à-dire que tout mot de L ne satisfait pas à la condition "ayant une longueur d'au moins p " comme l'exige le lemme.$p$$L$$p$$L$$L$$L$$p$

Un corollaire: si a une longueur de pompage p , et qu'il existe un mot w ∈ L de longueur au moins p , alors L est infini.$L$$p$$w\in L$$p$$L$

Le lemme de pompage est généralement utilisé sur des langues infinies, c'est-à-dire des langues qui contiennent un nombre infini de mots. Pour tout langage fini , puisqu'il peut toujours être accepté par un DFA avec un nombre fini d'états, L doit être régulier.$L$$L$

Selon wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ), le pompage du lemme dit: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Pour tout langage fini , soit l m a x la longueur maximale des mots dans L , et soit p dans le lemme de pompage soit l m a x + 1 . Le lemme de pompage tient car il n'y a pas de mots dans L dont la longueur ≥ l m a x + 1 .$L$$l_{max}$$L$$p$$l_{max}+1$$L$$\geq l_{max}+1$

Une façon de formaliser la partie centrale du lemme de pompage est la suivante, en utilisant :$L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Si est régulier, il existe p ∈ N pour que$L$$p \in \mathbb{N}$

(*).$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$

Pour tout fini et p > max { | w | ∣ w ∈ L } , on a évidemment que L ≥ p = ∅ . Par conséquent (*) est (vide) vrai pour un tel p .$L$$p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$$L^{\geq p} = \emptyset$$p$