Fermeture contre le bon quotient avec une langue fixe

J'adorerais vraiment votre aide avec les éléments suivants:

Pour tout fixe, je dois décider s'il y a fermeture sous les opérateurs suivants:$L_2$

1. $A_r(L)=\{x \mid \exists y \in L_2 : xy \in L\}$

2. $A_l(L)=\{x \mid \exists y \in L : xy \in L_2\}$ .

Les options pertinentes sont:

1. Les langues régulières sont fermées sous resp. A_r , pour n'importe quelle langue L_2$A_l$$A_r$$L_2$

2. Pour certaines langues $L_2$ , les langues régulières sont fermées sous $A_l$ resp. $A_r$ , et pour certaines langues $L_2$ , les langues régulières ne sont pas fermées sous $A_l$ resp. $A_r$ .

Je pensais que la réponse pour (1) devrait être (2), parce que quand je reçois un mot dans $w \in L$ et $w=xy$ je peux construire un automate qui peut deviner où $x$ transforme en $y$ , mais il doit ensuite vérifier que $y$ appartient à $L_2$ et si ce ne sera pas régulier, comment ferait-il cela?
La réponse est (1).

Que dois-je faire pour analyser correctement ces opérateurs et déterminer si les langues régulières sont fermées sous eux ou non?

Pour répondre à ces questions, nous devons autoriser tout . Imaginons donc que L 2 soit un langage très complexe (disons un langage indécidable).$L_2$$L_2$

Commençons par la question facile: (question partie 2). Prenez L 2 indécidable et L = { ε } . Ce qui se produit?$A_l(L)$$L_2$$L=\{\varepsilon\}$

(moral: Vérifiez toujours les "extrêmes": vide , L = { ε } et L = Σ ∗ ...)$L$$L=\{\varepsilon\}$$L=\Sigma^*$

Maintenant pour . C'est une excellente question (généralement une question bonus dans Final / Homeworks). En effet, les langues régulières sont fermées sous A r pour toute langue L 2 . Même indécidable L 2 . Cool, non?$A_r$$A_r$$L_2$$L_2$

Alors comment construire un automate pour s'il n'y a pas de machine qui accepte L 2 ?$A_r(L)$$L_2$

Voici la magie de la «pensée abstraite», c'est-à-dire la preuve existentielle . Si quelqu'un nous donne nous pouvons utiliser cette information pour montrer qu'il existe un automate pour résoudre A ( L ) . Maintenant, les détails.$L_2$$A(L)$

Nous partons de l'automate de (l'appel est D F A L ). Supposons qu'après le traitement de x, nous nous retrouvons dans un état q . Nous devons accepter s'il existe y ∈ L 2 telle que si nous continuons de q traitement y , nous finirons dans un état final de D F A L . Il n'y a pas de machine qui puisse nous dire si y est dans L 2 , mais on peut faire de q un état final de D F A A $L$$DFA_L$$x$$q$$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$$y$$L_2$$q$$DFA_{A_L}$si la condition ci - dessus contient, par exemple, s'il existe un de telle sorte que si l' on commence à q et processus y nous nous retrouvons dans un état final D F A L .$y\in L_2$$q$$y$$DFA_L$

donc pour construire nous examinons chacun des états de D F A L et faisons de chaque état q un état acceptant si nous pouvons prendre un peu y ∈ L 2 et ce y nous conduira de q à un état acceptant de D F A L .$DFA_{A_L}$$DFA_L$$q$$y\in L_2$$y$$q$$DFA_L$

Donc ok, est infini, et nous n'avons peut-être pas d'ordinateur pour lister tous les mots dans L 2 , mais tout cela n'a pas d'importance ... l'automate ci-dessus est bien défini, même si je ne peux pas le dessiner à vous état par état. La magie.$L_2$$L_2$

Je ne sais pas si vous cherchez une réponse au problème ou non, donc je ne la fournis pas directement. (Je peux si vous le voulez, cependant.)

Tu as demandé:

Que dois-je faire pour analyser correctement ces opérateurs et déterminer si les langues régulières sont fermées sous eux ou non?

Votre approche de départ est bonne. Comme pour toutes les questions théoriques «ouvertes», vous devriez avoir une idée intuitive de la véracité ou non. Habituellement, cela consiste à essayer des exemples (à la fois communs et marginaux) ou à enquêter sur des cas spéciaux (par exemple, si est régulier? Hors contexte?). Pour ce problème, vous devez développer une supposition quant à savoir si vous pouvez construire un automate / regex pour les opérateurs ou non. Après ça:$L_2$

• Si vous pensez que vous pouvez, vous devez être en mesure de construire cet automate / regex pour une langue d'entrée régulière .$L$
• Si vous pensez que vous ne pouvez pas, vous trouverez généralement des exemples de langues et L 2 tels que A x n'est pas fermé.$L$$L_2$$A_x$

(et si une approche ne fonctionne pas, vous pouvez toujours essayer l'autre.)

Pour le problème lui-même:

Ces deux sont le bon opérateur de quotient. (Je crois que le quotient gauche implique de laisser le suffixe au lieu du préfixe.) La différence entre les deux est que tandis que A r ( L ) = L / L 2 , où L 2 est fixé dans les deux cas.$A_l(L) = L_2 / L$$A_r(L) = L / L_2$$L_2$

Vous avez une certaine intuition à propos de , alors voici quelque chose à penser pour A l : A l donne une version modifiée de L 2 . Puisque L 2 pourrait être non régulier, est-il possible pour A l de laisser L 2 inchangé? Si oui, alors A l n'est pas régulier dans ce cas. Sinon, nous devrons argumenter que A l rend L 2 régulier dans tous les cas.$A_r$$A_l$$A_l$$L_2$$L_2$$A_l$$L_2$$A_l$$A_l$ $L_2$