Quel est le nom de cette variante logistique du TSP?

J'ai un problème logistique qui peut être vu comme une variante de $\text{TSP}$. C'est tellement naturel, je suis sûr qu'il a été étudié en recherche opérationnelle ou quelque chose de similaire. Voici une façon de voir le problème.

J'ai entrepôts sur le plan cartésien. Il existe un chemin entre un entrepôt et tous les autres entrepôts et la métrique de distance utilisée est la distance euclidienne. De plus, il existe éléments différents. Chaque article peut être présent dans n'importe quel nombre d'entrepôts. Nous avons un collecteur et on nous donne un point de départ pour cela, disons l'origine . Le collectionneur reçoit une commande, donc une liste d'articles. Ici, nous pouvons supposer que la liste ne contient que des éléments distincts et un seul de chacun. Nous devons déterminer la visite la plus courte à partir visiter un certain nombre d'entrepôts afin que le nous ramassons tous les éléments de l'ordre.$P$$n$$1 \leq i \leq n$$s$$(0,0)$$s$

Voici une visualisation d'une instance générée aléatoirement avec . Les entrepôts sont représentés par des cercles. Les rouges contiennent l'élément , les bleus l'élément et les verts l'élément . Étant donné un certain point de départ et l'ordre ( ), il faut choisir un rouge, un bleu et un entrepôt vert pour la commande peut être complétée. Par accident, il n'y a pas d'entrepôts multicolores dans cet exemple, ils contiennent donc tous exactement un article. Cette instance particulière est un cas de set-TSP .$P = 35$$1$$2$$3$$s$$1,2,3$

Je peux montrer que le problème est en effet -hard. Considérons une instance où chaque article est situé dans un entrepôt différent . La commande est telle qu'elle contient chaque article. Maintenant, nous devons visiter chaque entrepôt et trouver la visite la plus courte. Cela revient à résoudre une instance de .$\mathcal{NP}$$i$$P_i$$P_i$$\text{TSP}$

Étant si évidemment utile au moins dans le contexte de la logistique, du routage et de la planification, je suis sûr que cela a déjà été étudié. J'ai deux questions:

1. Quel est le nom du problème?
2. Dans quelle mesure peut-on espérer approcher le problème (en supposant )?$\mathcal{P} \neq \mathcal{NP}$

Je suis assez satisfait du nom et / ou des références au problème. Peut-être que la réponse au deuxième point suit facilement ou je peux le découvrir moi-même.

Le problème est $\mathrm{P}$ si le nombre d'articles est constant.

Laisser $K$ être le nombre d'articles (indépendamment de $n$). Pour chaque commande d'articles, utilisez le retour arrière pour essayer toutes les routes autorisées: vous passez d'abord par un entrepôt pour le premier article (en essayant tous les entrepôts), puis un pour le deuxième article et ainsi de suite.

Il y a $O(K!)$commandes des articles. Laisser$W_i$ être le nombre d'entrepôts pour l'article $i$. Le nombre de routes est$\prod_{i=1}^K W_i \leq \prod_{i=1}^K n = n^K$. Par conséquent, le temps d'exécution de l'algorithme ci-dessus est$O(K! n^K)$, qui est polynôme pour fixe $K$.

Si le nombre d'articles peut être linéaire dans $n$, le problème est au moins aussi difficile à $TSP$: vous pouvez prendre une instance de $TSP$, créez un élément pour chaque sommet comme vous l'avez noté, puis ajoutez des sommets supplémentaires très loin de tous les autres sommets pour les gonfler $n$ (et donc prévoir suffisamment d'éléments pour que chaque sommet du $TSP$ exemple a un élément différent), sans détruire la dureté d'approximation de $TSP$. Notez que si vos points sont dans le plan euclidien, cela ne vous aide pas vraiment car il y a un$PTAS$ pour planaire $TSP$.

Entre autres, ce problème peut être considéré comme une instance du problème des acheteurs itinérants. $\text{TPP}$ est une généralisation de $\text{TSP}$ et a été proposé pour la première fois par T. Ramesh, problème des acheteurs itinérants, 1981. Le problème est le suivant:

On nous donne un ensemble $M = \{ 1, ..., m \}$ des marchés et un ensemble de $N = \{ 1, ..., n \}$de produits. On nous donne aussi$c_{ij}$, le coût du voyage depuis la ville $i$ en ville $j$et non négatif $d_{ij}$, le coût d'un produit $i$ au marché $j$. L'acheteur part de sa ville d'origine (par exemple ville$1$) et se déplace vers un sous-ensemble de $m$ villes et achète chacun des $n$produits dans les villes qu'il visite et retourner dans sa ville natale. L'objectif est de trouver une visite pour l'acheteur telle que la somme des frais de voyage et d'achat soit minimisée.

Donc, pour reprendre les termes de la question initiale, les entrepôts sont des marchés. Chaque article disponible sur un marché a un prix égal. Si l'article$i$ n'est pas disponible sur un marché $j$, son prix $d_{ij}$ est défini sur une valeur élevée.

En plus de contenir $\text{TSP}$, $\text{TPP}$ contient la collecte des prix $\text{TSP}$, problème de localisation de l'installation non capacitaire, problème d'arbre du groupe Steiner et problème de couverture d'ensemble comme cas spéciaux immédiats Pour la dureté, à la suite des résultats de dureté actuels pour le couvercle de prise, il s'ensuit qu'il n'y a pas$\text{TPP}$ même avec des coûts de déplacement métriques dont le rapport de performance est meilleur que $(1-o(1))\ln n$ sauf si $\mathcal{P} = \mathcal{NP}$. Pour une discussion et une formulation supplémentaires en tant qu'IP, voir par exemple R. Ravi et FS Salman, Approximation Algorithms for the Traveling Purchaser Problem and its Variants in Network Design, 1999 . L' entrée Wikipedia pour TPP donne également des liens vers certaines approches heuristiques.

Ce que vous avez décrit ressemble plus à un problème de planification en IA. Cela ressemble à ce qui pourrait être modélisé avec un langage de planification, tel que STRIPS , ADL, PDDL, etc. Une fois modélisé, le plan peut ensuite être résolu par l'un des nombreux algorithmes / heuristiques de planification, qui sont généralement des algorithmes de recherche d'espace d'état. Les liens Wiki devraient vous aider à démarrer. Un chapitre de planification dans n'importe quel manuel d'IA peut également aider. Un exemple de planificateur PDDL est le logiciel GraphPlanner .

Étant donné que certaines instances plutôt dégénérées de ce problème peuvent être équivalentes à TSP, ce problème n'est généralement pas le même que TSP, ni n'est Set TSP. Dans TSP et Set TSP, l'ensemble des villes (entrepôts) à visiter est prédéfini. Ici, nous ne nous soucions pas vraiment des entrepôts visités, mais nous nous soucions uniquement de répondre à une commande de la manière la moins chère et la plus efficace possible. Vous pourriez avoir des commandes qui ne peuvent pas être exécutées. Un planificateur reviendra avec un plan vide ou partiel dans un tel cas - un rapport de non-satisfaction. Le problème de satiabilité du plan est généralement connu pour être PSPACE-complete. Dans TSP ou Set TSP, une visite optimale existe toujours - elle peut ne pas être unique cependant.