Quelle est la formule du nombre de chaînes sans répétition?

Je veux compter le nombre de chaînes $s$sur un alphabet fini , qui ne contient pas de répétitions, et par là je veux dire pour toute sous-chaîne de ,, il n'y a pas de copie disjointe de à l' . Par exemple, laissez . Alors est l' une des chaînes que je veux compter, car pour la sous-chaîne , il n'y a pas de copies disjointes. Cependant, contient une telle répétition.$A$$t$$s$$1< |t| < |s|$$t$$s$$A=\{a,b\}$$aaa$ $aa$$abab$

Si quelqu'un a déjà trouvé une formule utile, veuillez lier. Sinon, je reviendrai sur cet article dans tout article que j'écrirai, si j'utilise la réponse de quelqu'un.

Voici un autre exemple. Essayons de construire une longue chaîne sur , qui ne contient pas de répétitions:$\{a,b\}$

aaa (ne peut pas être a)
   aaab (a ou b)
     aaabbb (ne peut pas être b)
       aaabbba (ne peut pas être b ou a)
   aaaba (ne peut pas être a ou b)

Si nous construisions un arbre, nous pourrions compter le nombre de nœuds, mais je veux une formule.

Edit: Eh bien, ce n'est pas aussi intimidant que je le pensais d'abord si nous convertissons cela en un problème de choix de bac. Un ensemble de chaînes de longueur k avec au moins une répétition est égal à l'ensemble qui est l'union de toutes les permutations du produit cartésien: où est la répétition requise. Je ne sais pas si c'est utile, mais ça sonnait pro :) Quoi qu'il en soit, laissez-les être | A | bacs, choisissez deux (même si le même) pour être la répétition, puis choisissez plus et multipliez (les 4 premiers sont déjà choisis, voyez?). Maintenant, je dois juste trouver cette formule à partir de mathématiques discrètes.$A \times A \times \cdots\times A \text{(k-4 times)} \times R \times R$$R$$k-4$

^{Cela répond à la question après le nombre de mots sans répétition par taille, ce qui implique que la quantité souhaitée existe même.}

Définition: Appelez répétition si et seulement s'il ne contient pas un facteur avec et .$w \in \Sigma$ $xyx$$x \in \Sigma^{\geq 2}$$y \in \Sigma^*$

Revendication: pour un alphabet fini donné avec , il n'y a pas de mots sans répétition de longueur supérieure à .$\Sigma$$|\Sigma| = k$$2k^2 + 1$

Idée de preuve: par le principe du pigeonnier. Prenez un mot de longueur (ou un mot plus long et considérez son préfixe de cette longueur), c'est-à-dire . Supposons que est sans répétition; cela signifie que pour tout (sinon nous avons eu une répétition). Par conséquent, il existe plusieurs paires de symboles; cela contredit . Donc n'est pas sans répétition. $w$$2k^2 + 2$$w = a_0a_0' \dots a_{k^2}a_{k^2}'$$w$$a_ia_i' \neq a_ja_j'$$i \neq j$$k^2 + 1$$|\Sigma^2| = k^2$$w$$\square$

Notez que ceci est une preuve grossière: les facteurs pourraient créer une répétition encore plus tôt.$a_i'a_{i+1}$

Notation:

• $\Sigma^{\geq k} = \bigcup_{i=k}^\infty \Sigma^i = \Sigma^* \setminus \bigcup_{i=0}^{k-1} \Sigma^i$
• "factor" = "subword" = "substring"