Deviner le plus petit entier positif unique

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Prenons le jeu suivant: il y a des joueurs et un ordinateur. Chaque joueur saisit un entier positif et son nom (le joueur ne connaît pas les numéros d'un autre, juste le sien). Lorsque tous les joueurs ont fait leurs mouvements, l'ordinateur affiche le nom du gagnant - qui a soumis le numéro unique le plus bas .

Comment pensez-vous, quelle est la meilleure stratégie pour ce jeu?

game-theory randomness

— vortexxx192
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Il y a un tas de pages Web pour ce problème avec des réponses contradictoires, mais celle-ci semble susceptible d'avoir bien compris.

— Peter Shor

@PeterShor ou vortexxx192 - envisagez de résumer les informations sur le lien donné dans une réponse, le cas échéant.

— Patrick87

Ce jeu était en fait géré pour un journal néerlandais par un mathématicien populaire. Il y avait 1607 participants et le gagnant en a choisi 35. Source (néerlandais, paywall): volkskrant.nl/opinie/…

— Albert Hendriks

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Il y a un certain nombre de discussions sur ce jeu en ligne, mais vous devez vous méfier car certains d'entre eux donnent des solutions incorrectes. Ce site Web donne une excellente exposition de la façon de résoudre ce jeu. (Basé en partie sur cet article .) Vous supposez que tous les joueurs utilisent la même stratégie mixte, et que lorsque tous les joueurs utilisent cette stratégie, il y a un équilibre de Nash. Cela donne des équations qui pour trois joueurs ont une solution de forme fermée: vous choisissez l'entier avec probabilité $i$

0.839286 \cdot (0.543689)^{i}

$0.839286 \cdot (0.543689)^{\textstyle i}$

où 0,543689 est la solution de . $x^3 + x^2 + x = 1$

Pour joueurs, si , les équations peuvent toujours être dérivées, mais elles semblent n'avoir aucune solution de forme fermée. Cependant, dans la stratégie optimale, la probabilité de jouer un nombre supérieur à est très faible, de sorte qu'une stratégie explicite presque optimale peut être trouvée en résolvant les équations numériquement. $k$ $k \geq 4$ $k$

— Peter Shor
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Pas assez de réputation pour commenter, mais il convient de noter que si vos adversaires jouent selon la stratégie d'équilibre de Nash que Peter Shor a décrite pour un jeu à 3 joueurs, vos chances de gagner sont d'environ 29,6% quel que soit le nombre que vous choisissez. Si vous ne jouez qu'une seule partie (afin que personne ne puisse déterminer votre stratégie) et envisagez un match nul entre tous les joueurs pas mieux qu'une défaite, un grand nombre tel que 89285829358008871 vous donnera les mêmes chances de victoire qu'un 1 ou 2.

Dans ce cas précis, il n'y a rien à perdre d'essayer une stratégie différente, juste au cas où vos adversaires ne se conforment pas à vos hypothèses.

— Matt Thompson
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Essentiellement, ce que vous dites, c'est qu'il existe des stratégies qui fonctionnent bien par rapport à la stratégie d'équilibre. C'est essentiellement toujours le cas et, vraiment, tout ce que vous faites est de violer l'hypothèse que les joueurs agissent de manière rationnelle. Bien sûr, vous pouvez battre l'équilibre de Nash, mais si les autres joueurs savent que vous allez essayer de le faire, ils peuvent jouer d'une manière qui vous fera (probablement) perdre.

— David Richerby

Non, ce n'était pas du tout ce que je disais! Je n'ai jamais déclaré que l'équilibre de Nash serait battu - si les deux autres joueurs optent pour cette stratégie, elle ne sera PAS battue. Au contraire, la réponse du troisième joueur n'est pas pertinente car elle n'a aucun impact sur le résultat final (en moyenne), donc il n'y a aucun coût à changer de stratégie (si un adversaire choisit une stratégie sous-optimale, par exemple - pas d'hypothèse de rationalité dans OP ). La réponse visait davantage à mettre en évidence certaines propriétés particulières de l'équilibre de Nash et à discuter de certaines des implications pratiques. Cela répond-il à vos préoccupations?

— Matt Thompson,