Prouver que la langue est régulière ou non régulière

Laisser $L$ être une langue régulière. Prouve-le:

$L_{+--}=\left\{w: \exists_u |u|=2|w| \wedge wu\in L\right\}$

$L_{++-}=\left\{w: \exists_u 2|u|=|w| \wedge wu\in L \right\}$

$L_{-+-}=\left\{w:\exists_{u,v} |u|=|w|=|v| \wedge uwv\in L\right\}$

sont réguliers et:

$L_{+-+}=\left\{ uv:\exists_w |u|=|w|=|v| \wedge uwv\in L \right\}$

n'est pas régulier.

Cela me semble très difficile. Je suppose que 1-3 sont similaires (mais je peux me tromper), mais je ne sais pas comment aborder. L'idée générale est généralement de modifier la machine à états finis pour $L$ d'accepter une autre langue. Mais ces constructions sont souvent très sophistiquées et je ne peux toujours pas les imaginer seules.

regular-languages

— xan
source

doublon possible de Comment prouver qu'une langue n'est pas régulière?

— Bartosz Przybylski

Je ne suis pas sûr que vos affirmations soient correctes car il semble d'après le théorème de Myhill-Nerode que les trois premières langues ont une infinité de classes d'équivalence! pour le premier: prendre

w_{i}

$w_i$ être le i-ème

L_{+ - -}

$L_{+--}$ et

w_{i + 1}

$w_{i+1}$ être le (i + 1) -ème mot, puis pour tout ce que je peux choisir

u_{i}

$u_i$ pour montrer qu'il existe un mot qui sépare les classes de

w_{i}

$w_i$ et

w_{i + 1}

$w_{i+1}$

— Fayez Abdlrazaq Deab

@Fayez Et si, par exemple,

L = Σ^{*}

$L=\Sigma^*$ ? alors

L_{+ - -} = Σ^{*}

$L_{+--} = \Sigma^*$ n'a qu'une seule classe d'équivalence. Passez en revue votre preuve et voyez ce qui ne va pas.

— Yuval Filmus

@Bartek et tout autre votant pour clore: la moitié de la question est en fait de prouver que certaines opérations sur les langues conservent la propriété d'être régulières.

— Yuval Filmus

Voici une preuve que la langue $L_0 = \{ w : \exists_u |u|=|w| \land uw \in L \}$ est régulier. Il peut être modifié pour montrer que les trois premiers de votre liste sont réguliers. (Notez que j'ai changé $wu$ à $uw$ .) Étant donné un DFA pour $L$ , nous construisons un NFA pour $L_0$ . La première chose que fait la NFA est de deviner (prendre un $\epsilon$ déplacer) un état $q$ , dont la sémantique est l'état selon lequel le DFA pour $L$ finit après avoir lu $u$ . Il exécute ensuite simultanément deux copies du DFA pour $L$ , l'un commençant à l'état de départ et l'autre commençant à $q$ . En lisant un symbole $a$ , il se déplace selon un symbole arbitraire sur le premier, et se déplace selon $a$ sur le second. Un état accepte si la première copie est à l'état $q$ et le second est dans un état acceptant.

Pour le dernier, considérez la langue $L= a^+ b^+ c^+$ et se croisent $L_{+-+}$ avec $a^+ c^+$ .

— Yuval Filmus
source

Je ne vois pas ça.

L = a^{+} b^{+} c^{+} \Rightarrow L_{+ - +} \cap a^{+} c^{+} = {a^{n} c^{m} : n + m \equiv_{2} 0}

$L=a^+b^+c^+ \Rightarrow L_{+-+} \cap a^+c^+=\left\{ a^n c^m: n+m\equiv_2 0 \right\}$ , qui est clairement une langue régulière. Mais je suppose que je me trompe :) Pouvez-vous me montrer la bonne direction?

— xan

J'ai réussi à modifier votre construction de

L_{0}

$L_0$ et même retirer

ε

$\varepsilon$ se déplace pour devenir plus élégant (à mon avis). Donc les trois premiers problèmes résolus et merci pour ça! :) Mais la seule chose que je vous demande est de clarifier la dernière et mes préoccupations dans le commentaire ci-dessus. Je serais très reconnaissant.

— xan

Quand je calcule

L_{+ - +} \cap a^{+} c^{+}

$L_{+-+} \cap a^+ c^+$ Je reçois autre chose. Notez que chaque mot

L

$L$ doit contenir un

b

$b$ .

— Yuval Filmus

Désolé, mais je ne sais pas comment calculer

L_{+ - +} \cap a^{+} c^{+}

$L_{+-+}\cap a^+c^+$ . Je suppose que le résultat est

{a^{n} c^{n} : n \in N}

$\left\{ a^n c^n: n\in\mathbb{N}\right\}$ ce qui nous donne ce que nous voulons, mais je ne sais tout simplement pas comment le justifier.

— xan

Ok, je peux voir maintenant :-)

— xan