Langues régulières planaires

Dans ma classe, un étudiant a demandé si tous les automates finis pouvaient être dessinés sans croiser les bords (il semble que tous mes exemples l'ont fait). Bien sûr, la réponse est négative, l'automate évident pour la langue $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$ a la structure de $K_5$ , le graphe complet sur cinq nœuds . Yuval a montré une structure similaire pour une langue apparentée.

Ma question est la suivante: comment montrer que chaque automate à états finis pour ce langage est non planaire? Avec des caractérisations similaires à Myhill-Nerode, on peut probablement établir que la structure du langage est présente dans le diagramme, mais comment rendre cela précis?

Et si cela est possible, existe-t-il une caractérisation des "langages réguliers planaires"?

Il n'est pas vrai que chaque DFA pour cette langue soit non planaire:

Voici un langage vraiment non planaire:

$$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$$ Prenez n'importe quel FSA planaire pour cette langue. Si nous supprimons tous les états inaccessibles, nous obtenons toujours un graphe planaire. Chaque état accessible a six arêtes sortantes distinctes , ce qui contredit le fait connu que chaque graphe planaire a un sommet de degré au plus cinq.

Le concept a déjà fait l'objet de recherches. (Une fois que vous connaissez la réponse, google pour elle ...)

Il y a d'abord le vieux travail de Book et Chandra, avec le résumé suivant.

Sommaire. On montre que pour chaque automate à états finis, il existe un automate non déterministe équivalent avec un graphe d'état planaire. Cependant, il existe des automates à états finis sans automate déterministe équivalent avec un graphe d'état planaire.

L'exemple et l'argumentation donnés sont exactement ceux de Yuval dans sa réponse!

De plus, ils considèrent également l'alphabet binaire.

Il existe un automate déterministe intrinsèquement non planaire à 35 états sur un alphabet à 2 lettres.

Ce travail est poursuivi assez récemment par Bonfante et Deloup. Ils considèrent les plongements topologiques. De manière informelle, le genre d'un graphique est le nombre de trous qui doivent être ajoutés pour intégrer le graphique à une surface sans traverser les bords. Les graphiques avec le genre zéro sont plans. Le genre d'une langue est alors le genre minimal des automates de la langue.

Théorème 9 (Hiérarchie basée sur les genres). Il existe des langues régulières de genre arbitrairement grand.

Dans la section "Automates à état minimal versus automates à genre minimal", on trouve le résultat, dont la preuve est le premier exemple donné par Yuval (dix états pour rendre planaire le langage K5 à cinq états).

Proposition 7. Il existe des automates déterministes de genre strictement inférieur au genre de leur automate minimal correspondant.

G.Bonfante, F.Deloup: The genus of regular languages, Mathematical Structures in Computer Science, 2018. doi 10.1017 / S0960129516000037 . Aussi ArXiv 1301.4981 (2013)

RV Book, AK Chandra, Inherently Nonplanar Automata, Acta informatica 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745