Trouver une étoile à 5 branches en temps polynomial

Je veux établir que cela fait partie de mes devoirs pour un cours que je suis en train de suivre. Je cherche de l'aide pour procéder, PAS UNE RÉPONSE.

Telle est la question en question:

Une étoile à 5 branches dans un graphique non orienté est une 5-clique. Montrez cette ÉTOILE À 5 POINTS , où ÉTOILE À 5 POINTS = contient une étoile à 5 pointes comme sous-graphique . $\in P$ $\{ <G>$ $: G$ $\}$

Où une clique est CLIQUE = est un graphe non orienté avec une -clique . $\{(G, k) : G$ $G$ $k$ $\}$

Maintenant, mon problème est que cela semble résoudre le problème CLIQUE, déterminer si un graphique contient une clique avec la contrainte supplémentaire d'avoir à déterminer que le CLIQUE forme une étoile à 5 pointes. Cela semble impliquer un calcul géométrique basé sur la connaissance d'une étoile à 5 branches . Cependant, dans Theory of Computation de Michael Sipser , p. 268, il y a une preuve montrant que CLIQUE est en et à la page 270 note que, $NP$

Nous avons présenté des exemples de langues, comme HAMPATH et CLIQUE, qui sont membres de NP , mais qui ne sont pas connus pour être en . $P$ [non souligné dans l'original]

Si CLIQUE n'est pas en , pourquoi une étoile à cinq branches est en ? Y a-t-il quelque chose que je ne vois pas? Rappelez-vous, il s'agit d'un PROBLÈME DE DEVOIR ET UNE RÉPONSE DIRECTE NE SERAIT PAS APPRÉCIÉE. Merci! $P$ $P$

complexity-theory time-complexity

— BrotherJack
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Si est un graphe, combien existe-t-il de sous-ensembles de de taille ? $G=(V,E)$ $V$ $5$

S'il existe une 5-clique, l'un de ces sous-ensembles est une clique.

Spoilers ci-dessous:

Il y a sous-ensembles possibles à vérifier, c'est-à-dire au plus options, qui est polynomial en entrée. Ce n'est PAS le cas pour un arbitraire , car peut être exponentiel en entrée, et c'est pourquoi (sauf si P = NP, agghh.). ${|V| \choose 5}$ $|V|^5$ $k$ $|V|^k$ $\text{CLIQUE} \notin P$

— A sonné.
source

C'est ce qui me fait trébucher je pense. J'avais l'impression que le problème CLIQUE était libellé de cette façon pour simplement signifier qu'il pouvait s'appliquer à n'importe quelle clique de taille, et que la taille était donnée dans le cadre du problème. Alors que dans ce problème, il apparaît que la taille CLIQUE est inconnue (mais dans le hw, elle est de 5). Maintenant, si je construisais une machine de Turing déterministe à bande unique qui déciderait d'une réponse à ce problème en temps polynomial, cela constituerait une réponse (étant donné que la preuve est solide bien sûr), oui?

— BrotherJack

@BrotherJack Par exemple oui, si l' on peut donner un algorithme polynomial pour un problème, il a clairement montre que le problème est dans . Notez que l'on n'a même pas besoin d'aller aussi "bas niveau" qu'une machine de Turing, un algorithme de niveau supérieur fera tout aussi bien.

P

$P$

— Juho

Il peut être intéressant de relier cet effet à la complexité paramétrée .

— Raphael

Je ne savais pas que tu pouvais faire l'effet spoilers. Joli indice.

— Joe