Régularité du milieu exact des mots d'une langue régulière

Laisser $L$être une langue régulière.
Est la langue$L_2 = \{y : \exists x,z\ \ s.t.|x|=|z|\ and\ xyz \in L \}$ ordinaire?

Je sais que c'est très similaire à la question ici , mais le hic, c'est que ce n'est pas une simple sous-chaîne d'un mot dans une langue régulière, mais plutôt un "milieu exact" - nous devons compter le préfixe et la longueur du suffixe.

Par conséquent, je suppose que ce n'est pas régulier, mais je n'ai pas trouvé de moyen de le prouver. Je ne pouvais pas non plus penser à un moyen de modifier le NFA de$L$ accepter $L_2$.

Astuce: considérez certains DFA pour $L$. Pour chaque$n \geq 0$, laisser $A_n$ être l'ensemble des états $s$de telle sorte qu'il y ait un mot de longueur$n$ ce qui conduit le DFA de l'état initial à $s$. Laisser$B_n$ être l'ensemble des états $t$de telle sorte qu'il y ait un mot de longueur$n$ qui mène le DFA de $t$à un état acceptant. Enfin, pour deux États quelconques$s,t$, laisser $R_{s,t}$ être l'ensemble (régulier) de mots menant le DFA de $s$ à $t$. On a

Soit soit un DFA pour . Sans perte de généralité, on suppose . Nous construisons un ε-NFA pour la manière suivante:$D = (Q, Σ, δ, q_0, F)$$L$$q_S, q_F \notin Q$$N = (Q ∪ \{q_S, q_F\}, Σ, Δ, q_S, \{q_F\})$$L_2$

Trouver chaque trajet en de l' une quelconque . Pour chacun de ces chemins construisez les chemins pour (c'est-à-dire constuire toutes les "parties centrales" du chemin). Cela peut être fait efficacement. Construisez en combinant tous ces chemins, avec:$D$$q_0$$f ∈ F$$p_k: q_0 = q_{k,0} \xrightarrow{α_{k,1}} q_{k,1} \xrightarrow{α_{k,2}} … \xrightarrow{α_{k,i}} q_{k,i} \xrightarrow{α_{k,i+1}} … \xrightarrow{α_{k,n_k}} q_{k,n_k}$$p_k^{(i)} : q_{k,i} \xrightarrow{α_{k,i+1}} q_{k,i+1} \xrightarrow{α_{k,i+2}} … \xrightarrow{α_{k,n_k-i}} q_{k,n_k-i}$$0 \le i \le \frac{n_k}2$$Δ$

• $(q_S, ε, q_{k,i})$ pour tout comme ci-dessus$i$
• $(q_{k, n_k-i}, ε, q_F)$ pour tout comme ci-dessus$i$

$L(N)$ est régulier par construction.

Preuve que : Soit . Par construction, nous savons que doit correspondre au moins à l'un des chemins ci-dessus. Chacun de ces chemins appartient à un chemin en , qui contient un préfixe et un suffixe supplémentaires de longueur . Choisissez comme mot décrit par ce préfixe et celui décrit par le suffixe. On trouve que , avec . Avec le même raisonnement que nous trouvons pour chaque un chemin dans . Soit la longueur de et$L(N) = L_2$$w ∈ L(N)$$w$$p_k^{(i)}$$D$$i$$x$$y$$xwy ∈ L$$|x| = |y| = i$$w ∈ L_2$$N$$i$$x$$y$appartenant à .$w$ . pour certaines formes$p_k^{(i)}$$k$$w$

Ainsi .$L(N) = L_2$