Preuve de contradiction pour l'inégalité de P et NP?

J'essaie de faire valoir que N n'est pas égal à NP en utilisant des théorèmes de hiérarchie. C'est mon argument, mais quand je l'ai montré à notre professeur et après déduction, il a dit que c'était problématique où je ne trouvais pas de raison impérieuse d'accepter.

Nous commençons en supposant que $P=NP$ . Ensuite, il donne que qui lui-même suit alors que . En l'état, nous pouvons réduire chaque langue de à . Par conséquent, . Au contraire, le théorème de la hiérarchie temporelle stipule qu'il devrait y avoir un langage , qui n'est pas dans . Cela nous amènerait à conclure que est dans , mais pas dans , ce qui est en contradiction avec notre première hypothèse. Nous sommes donc arrivés à la conclusion que $\mathit{SAT} \in P$ $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ $NP$ $\mathit{SAT}$ $NP \subseteq TIME(n^k)$ $A \in TIME(n^{k+1})$ $TIME(n^k)$ $A$ $P$ $NP$ $P \neq NP$ .

Y a-t-il un problème avec ma preuve?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— index_inverti
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Veuillez écrire quelque chose comme $\mathit{SAT}$ au lieu de $SAT$ . Comme Leslie Lamport l'a écrit dans son livre LaTeX original, ce dernier signifie S fois A fois T.

— Oliphaunt - réintègre Monica le

Mieux encore, utilisez le complexitypackage et écrivez simplement \SAT. (Je suppose que ce n'est pas disponible sur cette pile, cependant.)

— Oliphaunt - réintègre Monica le

@Oliphaunt Pourquoi ne pas suggérer une modification lorsque vous pouvez améliorer la publication? Bien que je doive dire qu'ici la différence (s'il y en a) est beaucoup plus subtile que je ne m'y attendais.

— Lézard discret

@Discretelizard Je le fais souvent, mais c'était "trop de travail" cette fois (j'étais / suis sur mobile). Entrer tous ces $ et \ est un travail difficile. J'ai plutôt choisi d'éduquer. (Cette décision n'était peut-être pas entièrement rationnelle.)

— Oliphaunt - réintègre Monica le

Réponses:

Il en résulte alors que $SAT \in P$ qui lui-même suit alors que $SAT \in TIME(n^k)$ .

Sûr.

Comme stands, nous sommes en mesure de faire réduire toutes les langues $NP$ à $SAT$ . Par conséquent, $NP \subseteq TIME(n^k)$ .

Non. Les réductions de temps polynomiales ne sont pas gratuites. On peut dire qu'il faut $O(n^{r(L)})$ pour réduire le langage $L$ à $SAT$ , où $r(L)$ est l'exposant de la réduction de temps polynomiale utilisée. C'est là que votre argument s'effondre. Il n'y a pas de $k$ fini tel que pour tout $L \in NP$ on ait $r(L) < k$ . Au moins, cela ne découle pas de $P = NP$ et serait une déclaration beaucoup plus forte.

Et cette affirmation plus forte ne fait en conflit avec le théorème de hiérarchie de temps, ce qui nous dit que $P$ ne peut pas s'effondrer dans $TIME(n^k)$ , et encore moins tous $NP$ .

— orlp
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Ce n'est pas seulement le moment de la réduction elle-même. Vous pourriez réduire à un problème plus important. Si je peux résoudre X en O (n ^ 5) et que je peux réduire un problème en Y en O (n ^ 6) à une instance de X (n ^ 3) de taille O, alors j'ai besoin de O (n ^ 15) au total.

— gnasher729

De manière amusante, cet argument s'applique également aux problèmes complets de PTIME, par exemple HORNSAT, qui peut être résolu en temps linéaire (mais tous les problèmes de P ne sont pas linéaires).

— cody

Supposons que $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ . Par la version non déterministe du théorème de la hiérarchie temporelle, pour tout $r$ , il existe un problème $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ qui n'est pas dans $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ . Il s'agit d'un résultat inconditionnel qui ne dépend d'aucune sorte d'hypothèse telle que $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

Choisissez n'importe quel $r>k$ . Supposons que nous ayons une réduction déterministe de $X_r$ à $\mathrm{3SAT}$ qui s'exécute dans le temps $n^t$ . Il produit une instance $\mathrm{3SAT}$ de taille au plus $n^t$ , qui peut être résolue dans le temps au plus $(n^t)^k=n^{tk}$ . Par notre choix de $X_r$ , nous devons avoir $tk>r-1$ , donc $t>(r+1)/k$ . Cette fonction croît sans limite avec $r$ .

Cela signifie qu'il n'y a pas de limite sur combien de temps cela peut prendre pour réduire l'arbitraire $\mathrm{NP}$ problème $\mathrm{3SAT}$ . Même si $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ , il n'y a toujours pas de limite sur la durée de ces réductions. Ainsi, en particulier, même si $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ pour certains $k'$ , nous ne pouvons pas conclure que $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ , ou même $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ pour certains $k''>k'$ .

— David Richerby
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