Équivalence des automates de Büchi et du calcul linéaire

C'est un fait connu que chaque formule LTL peut être exprimée par un automate Büchi . Mais, apparemment, les automates Büchi sont un modèle expressif plus puissant. J'ai entendu quelque part que les automates Büchi sont équivalents au temps linéaire -calculus (c'est-à-dire -calculus avec les points fixes habituels et un seul opérateur temporel: ). $\omega$ $\mu$ $\mu$ $\mathbf{X}$

Existe-t-il un algorithme (preuve constructive) de cette égalité?

— Daniil
source

Je ne connais pas trop la logique. NBA sont équivalents à MSO, afaik; savez-vous quelque chose sur la relation entre MSO et votre logique?

— Raphael

@Raphael malheureusement, je ne sais pas grand chose sur MSO

— Daniil

Notez que les langues régulières, DFA, NFA et NBA sont équivalentes à MSO sur des chaînes , mais pas "équivalentes" à MSO dans un sens général (sur des structures arbitraires). En fait, la logique du second ordre (SO), lorsqu'elle est considérée sur des chaînes, est également équivalente à la logique monadique du second ordre (MSO), mais SO en général est beaucoup plus expressif que LTL.

— Janoma

REG, DFA et NFA correspondent à WMSO, pas à MSO.

— Raphael

@Raphael hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/06/06/08/PDF/LogicOnWords.pdf - cet article a été un bon point de départ pour moi, même si je ne suis moi-même pas un expert et je n'ai pas encore pleinement compris l'algèbre et les méthodes des automates pour -languages.

ω

$\omega$

— Daniil

Réponses:

L'équivalence constructive des formules à point fixe à temps linéaire (la logique est appelée TL par certains) et des automates Buechi est donnée dans un article de Mads Dam de 1992. $\nu$

Points fixes des automates Buchi , FST et TCS 1992.

Voir page 4 pour la construction d'une formule TL à partir d'un automate Buechi. La construction d'un automate Buechi à partir d'une formule TL est plus compliquée et prend le reste du papier. $\nu$ $\nu$

Le reste de cette réponse est un bref argument selon lequel ce résultat existait dans la littérature sous une forme beaucoup moins directe. Pierre Wolper a montré qu'il y avait des propriétés oméga-régulières qui n'étaient pas définissables en LTL et a donné une extension de LTL (appelée ETL) qui pourrait exprimer des propriétés oméga-régulières.

La logique temporelle peut être plus expressive , Pierre Wolper, Information and Computation, 1983.

Il est également connu que l'on peut traduire des formules ETL en formules TL, donc en combinant ces résultats, vous pouvez lire une traduction des automates Buechi en TL. Dans l'autre sens, il résulte des travaux de Buechi que les formules S1S (la théorie du second ordre d'un successeur) peuvent être compilées dans les automates Buechi et en traduisant les formules TL en S1S, nous obtenons une traduction de TL en Buechi automates. Si vous voulez une introduction plus approfondie à ces sujets, je suggère les notes de cours de Mads Dam ou le travail de Roope Kaivola (malheureusement pas aussi largement connu que beaucoup de travaux connexes). $\nu$ $\nu$ $\nu$ $\nu$

Logiques temporelles, automates et théories classiques - une introduction , Mads Dam, ESSLLI 1994.

Utilisation des automates pour caractériser la logique temporelle à point fixe , Roope Kaivola

— Vijay D
source

Y a-t-il un résultat pour la question du PO dans ces références, ou est-ce ouvert?

— Raphael

J'ai clarifié ma réponse.

— Vijay D

IIRC, il y avait un problème similaire dans le discours de Moshe Vardi au Fields Institute (il ne s'agissait cependant pas de -calculus). $\mu$

Vous voudrez peut-être vérifier les diapositives ou consulter les documents de Vardi. Il y a certainement un algorithme mais les négations de l'IIRC entraînent une énorme augmentation du temps nécessaire pour effectuer la traduction.

— Kaveh
source

Votre réponse ne semble pas complète.

— Dave Clarke

@Dave, oui, ce n'est pas le cas.

— Kaveh