Construire deux fonctions et satisfaisant


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Construisons deux fonctions satisfaisant:f,g:R+R+

  1. f,g sont continus;
  2. f,g augmentent de façon monotone;
  3. g O ( f )fO(g) et .gO(f)

2
Avez-vous envisagé la possibilité que de telles fonctions n'existent pas?
jmite

Si les deux sont logarithmico-exponentielles, alors ou . La plupart des fonctions rencontrées dans la pratique sont de cette forme. f = O ( g ) g = O ( f )f,gf=O(g)g=O(f)
Yuval Filmus

Réponses:


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Il existe de nombreux exemples de telles fonctions. La façon la plus simple de comprendre comment obtenir un tel exemple est peut-être de le construire manuellement.

Commençons par la fonction sur les nombres naturels, car ils peuvent être continuellement remplis en réels.

Un bon moyen de s'assurer que et consiste à alterner entre leurs ordres de grandeur. Par exemple, nous pourrions définirg O ( f )fO(g)gO(f)

f(n)={nn is oddn2n is even

Ensuite, nous pourrions avoir se comporter à l'opposé sur les cotes et égalise. Cependant, cela ne fonctionne pas pour vous, car ces fonctions n'augmentent pas de manière monotone.g

Cependant, le choix de était quelque peu arbitraire, et nous pouvions simplement augmenter les grandeurs pour avoir la monotonie. De cette façon, nous pouvons proposer:n,n2

g(n)={ n 2 n - 1 n est impair n 2 n n est pairf(n)={n2nn is oddn2n1n is even , et g(n)={n2n1n is oddn2nn is even

Il s'agit clairement de fonctions monotones. De plus, , puisque sur les entiers impairs, se comporte comme tandis que se comporte comme , et vice-versa sur les mêmes.f(n)O(g(n))n 2 n g n 2 n - 1 = n 2 n / n = o ( n 2 n )fn2ngn2n1=n2n/n=o(n2n)

Maintenant, tout ce dont vous avez besoin est de les compléter aux réels (par exemple en ajoutant des parties linéaires entre les entiers, mais c'est vraiment à côté du point).

De plus, maintenant que vous avez cette idée, vous pouvez utiliser les fonctions trigonométriques afin de construire des `` formules fermées '' pour de telles fonctions, car et oscillent et culminent sur des points alternés.cossincos


Peut-on dire que et ? et sont tels que définis dans votre réponse. g ( n ) O ( n 2 n ) f ( n ) g ( n )f(n)O(n2n)g(n)O(n2n)f(n)g(n)
Mayank

Oui. On peut même dire que (même pour ), qui est plus fort que . g Of(n)n2ngO
Shaull

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