Pourquoi P et P / poly ne sont-ils pas trivialement les mêmes?

La définition de P est un langage qui peut être décidé par un algorithme de temps polynomial. La définition de P / poly peut être interprétée comme signifiant un langage qui peut être décidé par un circuit de taille polynomiale (voir http://pages.cs.wisc.edu/~jyc/02-810notes/lecture09.pdf ). Maintenant, pourquoi un circuit de taille polynomiale ne peut-il pas être simulé en temps polynomial?

Le point sur les circuits est qu'un circuit a un nombre fixe d'entrées. Cela signifie que, pour définir un langage, nous avons besoin d'une famille de circuits $C_0, C_1, C_2, \dots$ telle que le circuit  $C_i$ vous indique quelles chaînes de longueur  $i$ sont dans le langage, pour chaque  $i$ . Cela n'exige pas qu'il y ait une relation entre les circuits $C_i$ et  $C_{i+1}$ : ils pourraient être complètement différents. En particulier, pour tout ensemble  $S\subseteq\mathbb{N}$ , vous pouvez définir déclarer $C_i=\mathrm{true}$ si$i\in S$ et$C_i=\mathrm{false}$ pour$i\notin S$ . Même si$S$  est indécidable!

En revanche, une langue est en  $\mathrm{P}$ s'il existe une seule machine de Turing qui vous indique si chaque entrée possible de chaque longueur possible est dans la langue. Maintenant, vous ne pouvez pas jouer à des jeux amusants sur des entrées de différentes longueurs.

Vous avez raison que nous pouvons évaluer tout circuit fixe  $\mathrm{P}$ . Mais cela ne suffit pas nécessairement pour décider d' une langue dans $\mathrm{P/poly}$ . Pour ce faire, nous devons d'abord calculer la longueur de l'entrée, puis l'utiliser pour déterminer le circuit  $C_i$ nous devons évaluer, puis évaluer le circuit. Comme le montre l'exemple ci-dessus, la partie "déterminer quel circuit" pourrait même ne pas être calculable, et encore moins calculable en temps polynomial.