Nombre de mots d'une longueur donnée dans une langue régulière

Existe-t-il une caractérisation algébrique du nombre de mots d'une longueur donnée dans une langue régulière?

Wikipédia énonce un résultat quelque peu imprécis:

Pour tout langage régulier il existe des constantes et des polynômes tels que pour tout le nombre de les mots de longueur dans satisfont à l'équation .λ 1$L$p 1 ( x ) $\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$n s L ( n ) n L s L ( n ) = p 1 ( n ) λ n 1 + ⋯ + p k ( n ) λ n $p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$$n$$s_L(n)$$n$$L$$s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$

Il n'est pas indiqué dans quel espace les vivent ( , je suppose) et si la fonction doit avoir des valeurs entières non négatives sur l'ensemble de . Je voudrais une déclaration précise et un croquis ou une référence pour la preuve.C $\lambda$$\mathbb{C}$$\mathbb{N}$

Question bonus: l'inverse est-il vrai, c'est-à-dire étant donné une fonction de cette forme, y a-t-il toujours une langue régulière dont le nombre de mots par longueur est égal à cette fonction?

_{Cette question généralise Nombre de mots dans la langue régulière$(00)^*$}

Étant donné un langage régulier , considérons certains DFA acceptant L , soit A sa matrice de transfert ( A i j est le nombre d'arêtes menant de l'état i à l'état j ), soit x le vecteur caractéristique de l'état initial, et soit y être le vecteur caractéristique des états accepteurs. Alors s L ( n ) = x T A n y $L$$L$$A$$A_{ij}$$i$$j$$x$$y$

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$

Le théorème de Jordan indique que sur les nombres complexes, est similaire à une matrice avec des blocs de l'une des formes ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , … Si λ ≠ 0 , alors le $A$

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$$n$Les puissances de ces blocs sont Voici comment nous sommes arrivés à ces formules: écrire le bloc comme . Les puissances successives de sont des diagonales secondaires successives de la matrice. $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ $B = \lambda + N$$N$$\lambda$commute avec ), Lorsque , le bloc est nilpotent, et nous obtenons les matrices suivantes (la notation est si et sinon): $N$ $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

En résumé, chaque entrée dans est soit de la forme ou de la forme , et nous en déduisons que pour certains polynômes complexes et complexes . En particulier, pour assez grand , C'est l'énoncé précis du résultat.$A^n$$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$$[n=k]$

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$$ $\lambda_i,c_j$$p_i$$n$ $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$$

Nous pouvons continuer et obtenir des informations asymptotiques sur , mais cela est étonnamment non trivial. S'il existe un unique de plus grande ampleur, disons , alors Les choses se compliquent quand il y a plusieurs de plus grande ampleur. Il se trouve que leur angle doit être rationnel (c'est-à-dire que jusqu'à la grandeur, ils sont les racines de l'unité). Si le LCM des dénominateurs est , alors l'asymptotique de sera très fonction du reste de modulo . Pour certains de ces restes, tousλ i λ 1 s L ( n ) = p 1 ( n ) λ n 1 ( 1 + o ( 1 ) ) . λ d s L$s_L(n)$$\lambda_i$$\lambda_1$

$$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$$ $\lambda$$d$$s_L$$n$$d$$\lambda$s de plus grande amplitude s'annulent, puis les asymptotiques "chutent", et nous devons répéter cette procédure. Le lecteur intéressé peut vérifier les détails dans Flajolet et Sedgewick's Analytic Combinatorics , Theorem V.3. Ils prouvent que pour certains , les entiers et les réels , $d$$p_0,\ldots,p_{d-1}$$\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$ $$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$$

Soit une langue régulière et$L \subseteq \Sigma^*$

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

sa fonction génératrice , où et donc .$L_n = L \cap \Sigma^n$$|L_n|=s_L(n)$

On sait que est rationnel , c'est-à-dire$L(z)$

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

avec les polynômes ; ceci est plus facile à voir en traduisant une grammaire linéaire droite pour en un système d'équations (linéaire!) dont la solution est .L L ( z $P,Q$$L$$L(z)$

Les racines de sont essentiellement responsables de la, conduisant au formulaire indiqué sur Wikipédia. Ceci est immédiatement lié à la méthode des polynômes caractéristiques pour résoudre les récurrences (via la récurrence qui décrit ).| L n | ( | L n | ) n ∈ $Q$$|L_n|$$(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$