Nombre de cycles hamiltoniens sur un graphe de Sierpiński

Je suis nouveau sur ce forum et juste un physicien qui fait cela pour garder son cerveau en forme, alors s'il vous plaît montrez de la grâce si je n'utilise pas le langage le plus élégant. Veuillez également laisser un commentaire, si vous pensez que d'autres balises seraient plus appropriées.

Je suis en train de résoudre ce problème pour lequel je dois calculer le nombre de cycles hamiltoniens $C(n)$ dans le $n$ ième ordre Sierpinski-graphe $S_n$ . (Veuillez également consulter le lien ci-dessus pour la définition et les images des graphiques de Sierpinski)

J'ai trouvé $C(n)$ , mais j'ai dû gâcher quelque chose, car ma solution ne correspond pas à la valeur donnée $C(5) = 71328803586048$ . Mon argumentation consiste en des pensées très basiques et je ne trouve pas l'erreur. Toute aide est grandement appréciée. Même si cela semble long, les pensées deviennent triviales si vous regardez les graphiques en suivant.

(a) Dans un graphe donné $S_n$ appeler les coins extérieurs $A,B,C$ . Ensuite, je définis les quantités suivantes:

$N(n) :=$ le nombre de chemins hamiltonien de$A$ à$C$ .

$\bar{N}(n) :=$le nombre de chemins de$A$à$C$qui visitent chaque nœud une fois à l'exception$B$.

J'appellerai également ces chemins $N$ - ou $\bar{N}$ chemins de type N dans ce qui suit.

(b) Il est facile de voir que $N(n)=\bar{N}(n)$ .

La raison en est la suivante: considérez un chemin de type $N$A partir de $A$ ce chemin est de la forme $(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$ . En remplaçant le segment $(X_1,B,X_2)$ par $(X_1,X_2)$ on obtient un chemin de type $\bar{N}$Cette opération mappe de manière unique tous les $N$chemins de type vers chemins de type $\bar{N}$

(c) On dérive la récursivité .$N(n+1)=2N(n)^3$

Considérons un chemin de type de A à B et dénotons les sous-triangles aux coins extérieurs A , B , C par T A , T B , T C , respectivement. Il est clair que la N chemin de -type visitera chaque sous - triangle exactement une fois à partir de T A sur T B à T C . Considérons maintenant le nœud Z auquel les sous-triangles T A et T $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$toucher. Il y a deux possibilités, lorsque ce point est visité par le chemin d' accès, soit (i) avant de quitter ou (ii) après l' entrée T C . Dans ces cas, les trois sous-chemins à l'intérieur de T A , T B , T C sont des types (i) N , N , ˉ N ou (ii) ˉ N , N , N , respectivement. Dans cet esprit, nous pouvons compter$T_A$$T_C$$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

et avec(b)nous arrivons à la récursivité supérieure.$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$

(d) On résout la récursion (c) avec et on obtient N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . . . + 3 n - 2 .$N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(e) Considérons un cycle hamiltonien dans le graphe . Comme chacun des trois sous-triangles est connecté aux autres via deux nœuds uniquement, il est clair que le cycle entrera dans chaque sous-triangle exactement une fois via un nœud de connexion, puis le "remplira", et le quittera finalement via l'autre nœud de connexion. Par conséquent, le cycle hamiltonien dans S n se compose de trois sous- chemins de type N dans les sous-triangles qui ont tous la structure de S n - 1 . Nous pouvons conclure pour le nombre de cycles hamiltoniens$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

.$C(n) = N(n-1)^3$

Cependant il s'ensuit pour $n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

où ce dernier doit être obtenu selon la page du problème (lien ci-dessus).

Merci encore pour toute aide ou commentaire.

Bonne idée! Le problème semble être à l'étape . Le remplacement de ( X 1 , B , X 2 ) dans un N- chemin par ( X 1 , X 2 ) donne un ˉ N- chemin, mais tous les ˉ N- chemin ne contiendront pas ( X 1 , X 2 ) . Ce n'est donc pas une bijection. Cela ne dit que N ( n ) ≤ ˉ N ( n ) .$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

Ou vous pouvez en fait montrer que , résultant en N ( n + 1 ) = 3 N 3 .$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$