Montrer qu'un problème dans X n'est pas X-Complete

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La théorie existentielle des réels est dans PSPACE , mais je ne sais pas si elle est PSPACE-Complete . Si je crois que ce n'est pas le cas, comment pourrais-je le prouver?

Plus généralement, étant donné un problème dans une classe de complexité X , comment puis-je montrer qu'il n'est pas X-Complete ? Par exemple, X pourrait être NP , PSPACE , EXPTIME .

complexity-theory proof-techniques

— Dave Clarke
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Bien sûr, ce n'est pas facile et personne ne peut fournir de réponse pour votre partie générale :-) J'ai trop de problèmes, je sais qu'ils sont NP, mais je ne sais pas qu'ils sont NP-Complete ou pas (ni trop d'autres personnes).

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En fait, prouver que $X$ n'est pas $PSPACE$ -complet (sous, disons, les réductions du temps polynomial) serait extrêmement difficile à faire.

Si $P=PSPACE$ , alors tous les problèmes non triviaux (c'est-à-dire non $\varnothing$ et non $\Sigma^{\star}$ ) et infinis dans $PSPACE$ sont $PSPACE$ -complets sous des réductions de temps polynomiales. Puisque la théorie existentielle des réels a cette propriété non triviale et infinie, prouver qu'elle n'est pas $PSPACE$ -complète impliquerait $P \neq PSPACE$ . (Voir la réponse à cette question sur CSTheory.SE pour un croquis de la preuve.)

— Ryan Williams
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On dirait certainement que j'ai mordu plus que je ne peux mâcher, pour ainsi dire.

— Dave Clarke

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Un problème dans n'est pas complet s'il y a d'autres problèmes dans qui ne peuvent pas être réduits à cela. Une méthode simple (mais peut-être efficace uniquement sur des exemples triviaux) serait de prouver que votre problème se trouve également dans une autre classe de complexité telle que $X$ $X$ $X$ $Y$ $Y \subset X$ .

Par exemple, si vous voulez montrer que votre problème n'est pas complet, il suffit de montrer qu'il est dans , puisque . Cependant, si l' on voulait montrer qu'un problème n'est pas -complete, alors il est pas nécessairement suffisante pour montrer qu'il est en , car on ne sait pas si oui ou non . $EXPTIME$ $P$ $P \subsetneq EXPTIME$ $NP$ $P$ $P = NP$

— Joe
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Regardez la réponse acceptée pour cette question sur MathOverflow, Quelles techniques existent pour montrer qu'un problème n'est pas complet en NP? . Il répond au cas où X = NP.

— Mohammad Al-Turkistany
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Comme l'a écrit Ryan, il n'est pas facile de prouver qu'un problème n'est pas difficile.

Que un problème dans une classe de complexité et est fermé wrt réductions. Prouver que n'est pas dur wrt équivaut à séparer la classe de complexité obtenue en prenant la fermeture de wrt . Maintenant, si est difficile pour une autre classe wrt , alors cela signifie que la séparation de . Comme vous le savez, il n'y a pas beaucoup de résultats de séparation. $Q$ $X$ $S$ $\leq$ $Q$ $X$ $\leq$ $Q$ $\leq$ $Q$ $Y$ $\leq$ $Y$ $X$

Dans votre cas, , et $X = \mathsf{PSpace}$ $\leq = \leq^\mathsf{P}_m$ $Y=\mathsf{P}$ .

Parce que nous ne pouvons pas prouver de tels résultats pour le moment (à l'exception possible de Ryan :), au lieu de prouver que n'est pas dur, nous montrons qu'il est dans une classe de complexité qui est censée être plus petite que . Par exemple, si vous montrez que est dans , alors cela sera considéré comme une preuve solide que n'est pas $Q$ $X$ $X$ $\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$ $\mathsf{PH}$ $Q$ $X$ -difficile. (Dans le langage des logiciens, si vous ne pouvez pas prouver un résultat inconditionnel, essayez de prouver un résultat conditionnel en supposant un énoncé difficile à prouver mais largement admis comme ). $\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$

— Kaveh
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