Si

Dites, $L \subseteq \{0\}^*$ . Comment alors prouver que $L^*$ est régulier?

Si $L$ est régulier, alors bien sûr $L^*$ est également régulier. Si $L$ est fini, alors il est régulier et encore $L^*$ est régulier. J'ai également remarqué que, pour $L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$ , $L$ n'est pas régulier, $L \subseteq \{0\}^*$ et $L^*$ est régulier.

Mais comment montrer cela pour tout sous-ensemble $L$ de $\{0\}^*$ ?

Supposons que $L$ contienne deux mots $w_1$ et $w_2$ tels que les longueurs de ces mots, $|w_1|$et $|w_2|$, n'ont aucun facteur en commun. Ensuite, nous avons que le mot le plus long qui ne peut pas être formé en concaténant ces mots a une longueur $(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$ ( nombre de Frobenius). C'est-à-dire que s'il y a des mots dans la langue dont les longueurs n'ont pas de facteur commun, alors tous les mots d'une certaine longueur minimale sont dans la langue $L^*$ . Il est facile de voir que cela est régulier car, par nécessité, il existe un nombre fini de classes d'équivalence sous la relation d'indiscernabilité Myhill-Nerode.

Et si la longueur de tous les mots en partage un facteur commun? Eh bien, il n'est pas difficile de voir que dans de tels cas, L ∗ est également régulier. Notez simplement qu'au lieu que tous les mots dont les longueurs sont supérieures à une longueur minimale soient dans L ∗ , il sera plutôt vrai que tous les mots dont les longueurs sont un multiple du GCD des longueurs de mots seront en L ∗ , et aucun mot dont les longueurs ne seront pas des multiples de ce GCD, et puisque ( L k ) ∗ est régulier pour tout entier k , L ∗ est également régulier.$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

C'est assez informel, mais tout ce dont vous avez besoin pour formaliser cela devrait être ici.

$w$$L^*$$L$ w ˚ L L∗= ˚ L ∗ ˚ L L$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

Soit un sous - ensemble de et un mot dans . peut être exprimé comme une concaténation de mots dans iffpeut être exprimé comme une somme d'éléments de où est l'ensemble des longueurs des mots . Ainsi, le problème se réduit à exprimer un entier sous la forme d'une somme d'entiers dans un ensemble particulier (avec des répétitions autorisées): canêtre exprimé comme avec et ?L w L w L | w | S ⊂ N S M | w | k 1 s 1 + … + k m s m ∀ i , s i ∈ S k 1 ∈ $M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

C'est un problème bien connu en arithmétique, et la réponse est que si les coefficients peuvent être négatifs ( ),est exprimable ssi il est un multiple du plus grand commun diviseur des éléments de : . Avec une exigence de coefficients non négatifs, cela reste valable pour suffisamment.$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

Considérons la séquence infinie définie par . Il s'agit d'une séquence décroissante d'entiers (commençant par , donc elle est constante après un certain indice ; et Selon le théorème chinois restant, chaque élément de peut être exprimé comme avec et . Si and vous pouvez alors sélectionner tous les coefficients non négatifs.$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$x ∈ S x ≥ s 1 ⋅ … ⋅ s $\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

Assez arithmétique. Soit . Chaque mot dans peut être exprimé comme une concaténation de mots dans dont la longueur est au plus , c'est-à-dire . Puisque nous avons également , nous avons , qui est régulier puisque est fini donc régulier.LLgjL⊆ ˚ L ∗ ˚ L ⊆LL∗= ˚ L ∗ ˚ $\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

Vous pouvez également utiliser la caractérisation des langues normales dans des alphabets à une seule lettre .