Comment calculez-vous les effets de la précession sur les orbites elliptiques?

La première loi de Kepler stipule que les planètes (et tous les corps célestes en orbite autour d'un autre corps) voyagent sur des orbites elliptiques, qui ont des formules bien connues qui facilitent le calcul des éléments orbitaux et du comportement associé. Cependant, la précession en cours signifie que l'orbite change constamment - et donc la planète ne se déplace pas réellement dans l'ellipse sur laquelle elle se trouvait à l'origine! Vous pouvez calculer la précession et ses effets connexes ( cette question et réponse sont utiles), mais existe-t-il un moyen de calculer comment l'orbite elliptique sera "déformée" par la précession?

Un bon point de départ serait <insérer le nom d'un scientifique de longue date> des équations planétaires du mouvement. Par exemple, il y a les équations planétaires de Lagrange (parfois appelées les équations planétaires de Lagrange-Laplace), les équations planétaires de Gauss, les équations planétaires de Delaunay, les équations planétaires de Hill et plusieurs autres. Le thème commun à ces diverses équations planétaires est qu'elles donnent les dérivées temporelles de divers éléments orbitaux en fonction des dérivées partielles de la force perturbatrice / potentiel perturbateur par rapport à une position généralisée.

En général, les seuls mots qui peuvent décrire le résultat de ce processus dans un premier temps sont "désordre chaud". Un désordre brûlant n'a pas découragé ces brillants esprits d'autrefois. Grâce à diverses hypothèses simplificatrices et à une moyenne temporelle à long terme, ils ont proposé des descriptions assez simples, par exemple, (précession absidale) et (précession planaire). Vous pouvez en voir une partie dans le travail de Hill cité en 1900 ci-dessous.⟨d$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Bien que ces techniques soient anciennes, ces équations planétaires sont encore utilisées aujourd'hui. Que parfois vous obtenez un "bordel chaud", ça va maintenant que nous avons des ordinateurs. Les gens utilisent des équations planétaires couplées à des techniques d'intégration géométrique pour produire des intégrateurs rapides, précis, stables et conserver le moment angulaire et l'énergie sur de longues périodes. (Normalement, vous ne pouvez pas avoir tout cela. Vous avez de la chance si vous n'en obtenez que deux ou trois.) Une autre caractéristique intéressante de ces équations planétaires est qu'elles vous permettent de voir des caractéristiques telles que des résonances qui sont autrement obscurcies par le véritable " désordre chaud "des équations cartésiennes du mouvement.

Matériel de référence sélectionné, trié par date:

Hill (1900), «Sur l'extension de la méthode de Delaunay dans la théorie lunaire au problème général du mouvement planétaire», Transactions de l'American Mathematical Society , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 et plus tard), "Fundamentals of Astrodynamics and Applications", divers éditeurs. À part le trou qu'il perce dans votre portefeuille, vous ne pouvez pas vous tromper avec ce livre.

Efroimsky (2002), «Équations pour les éléments kepleriens: symétrie cachée», Institut de mathématiques et ses applications

Efroimsky et Goldreich (2003), «Symétrie de jauge du problème des N-corps dans l'approche Hamilton – Jacobi». Journal of Mathematical Physics , 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), cours magistral sur les systèmes planétaires, Institute of Astronomy, Cambridge.
Les résultats des équations planétaires de Lagrange sont présentés sur la diapositive 6.

Ketchum et al. (2013), «Résonances moyennes de mouvement dans les systèmes exoplanètes: une enquête sur le comportement de hochement de tête». The Astrophysical Journal 762.2.

La seule orbite elliptique véritablement confocale est celle d'une particule d'essai liée dans le potentiel central ou, de manière équivalente, celle de deux masses ponctuelles (avec des distributions de masse interne symétriques sphériquement) s'attirant avec la gravité newtonienne (et ayant des énergie totale, c'est-à-dire étant liés les uns aux autres).$-k/r$

Tout le reste n'est pas elliptique (les orbites non liées sont paraboliques ou hyperboliques), mais la plupart des écarts sont faibles. De petites déviations peuvent provenir d'un certain nombre de sources, y compris les termes quadripolaires dans la distribution de masse des corps (en particulier le Soleil), les forces non gravitationnelles (pression de rayonnement et traînée de gaz sur les grains de poussière), les effets non newtoniens (GR), perturbations d'autres objets (toutes les autres planètes). Newton lui-même était bien conscient de ce dernier effet.

Si les écarts sont faibles, alors la façon traditionnelle de les estimer est la théorie de la perturbation , où l'on intègre la force perturbatrice le long de l'orbite non perturbée (elliptique). Par exemple, afin d'obtenir la précession du périapse, on pourrait intégrer les changements au vecteur d'excentricité. Une rotation de ce vecteur correspond à une précession de périapse. Voir ma réponse à cette question , pour un exemple exact de cela.

David Hammen a écrit

Les gens utilisent des équations planétaires couplées à des techniques d'intégration géométrique ...

Vous pouvez également essayer (ce que j'appelle) une simulation simple à étapes finies utilisant les lois de Newton pour opérer sur les masses, positions, vitesses et accélérations des objets. Je ne sais pas si cela relève de ce que David appelle les "techniques d'intégration géométrique". Mon point est que vous pouvez le faire sans incorporer les équations planétaires. Inconvénient = le simulateur "coupe les coins" en utilisant des approximations et cela conduit à des comportements dans le modèle qui sont des artefacts. Ces inconvénients peuvent être surmontés en utilisant d'autres techniques. Avantage = il facilite la conception du code, il évite la suspicion que les équations planétaires (et leurs hypothèses) conduisent le spectacle.

Vous n'avez pas besoin d'être un expert en méthodes numériques pour utiliser la technique d'intégration Leapfrog simple (décrite en détail dans Feynman Lectures vol I ) pour modéliser la précession newtonienne dans les orbites du système solaire sur des périodes allant jusqu'à quelques siècles. En exécutant des simulations à différents pas de temps (par exemple ) traçant les résultats dans Excel, ajustant une courbe et extrapolant à$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$vous pouvez obtenir des résultats pour la précession newtonienne moyenne à long terme qui sont à moins de 1% des chiffres acceptés. Un autre avantage par rapport aux méthodes analytiques qui produisent des résultats moyens à long terme est que vous pouvez examiner les comportements à des échelles de temps plus courtes. Par exemple, si vous représentez graphiquement la direction du périhélie en fonction du temps pour une certaine planète (par exemple Mercure), vous pouvez voir les fluctuations périodiques du taux de précession d' ans résultant du mouvement de Jupiter autour du Soleil. C'est aussi très amusant (et très facile une fois que vous avez écrit le code de base) de jouer "et si?" simulations en faisant varier le nombre et les propriétés des corps dans le système et même en ajoutant des forces non newtoniennes supplémentaires. $\approx 11.9$

Pour citer Feymnan: -

Il se peut que dans un cycle de calcul, selon le problème, nous ayons 30 multiplications, ou quelque chose comme ça, donc un cycle prendra 300 microsecondes. Cela signifie que nous pouvons faire 3000 cycles de calcul par seconde. Pour obtenir une précision de, disons, une partie sur un milliard, nous aurions besoin de 4 × 10 ^ 5 cycles pour correspondre à une révolution d'une planète autour du soleil. Cela correspond à un temps de calcul de 130 secondes soit environ deux minutes. Ainsi, il ne faut que deux minutes pour suivre Jupiter autour du soleil, avec toutes les perturbations de toutes les planètes correctes à une partie sur un milliard, par cette méthode!

Mais vous devez réfléchir soigneusement à ce que vous pouvez déduire de manière fiable des simulations - par exemple, si votre pas de temps est supérieur à quelques centaines de secondes, la simulation indiquera une précession dans la direction opposée à celle qui se produit réellement (c'est-à-dire rétrograde lorsqu'elle se produit). doit être prograde).