Détermination de l'effet d'une petite force variable sur la précession planétaire du périhélie

Existe-t-il une technique analytique pour déterminer l'effet d'une petite accélération transversale variable sur le taux de précession des aspides (strictement pas une précession mais la rotation de la ligne d'aspides) d'une planète en orbite autour du Soleil dans un plan 2D selon la loi de gravité newtonienne ?

J'ai modélisé ces effets dans un modèle informatique réitératif et je voudrais vérifier ces mesures.

La formule d'accélération transversale est

$UNE t = (K / c^{2}) * V r * V t * UNE r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Où:-

c est la vitesse de la lumière,

K est une constante de grandeur entre 0 et +/- 3, de telle sorte que $K/(c^2) << 1$ .

Ar est l'accélération de la planète vers le Soleil due à l'influence gravitationnelle newtonienne du Soleil, ( $Ar = GM/r^2$ ).

Vr est la composante radiale de la vitesse de la planète par rapport au Soleil (+ = mouvement loin du Soleil)

Vt est la composante transversale de la vitesse de la planète par rapport au Soleil (+ = direction du mouvement vers l'avant de la planète le long de sa trajectoire orbitale). Vectorialement Vt = V - Vr où V est le vecteur vitesse instantanée totale de la planète par rapport au Soleil.

Supposons que la masse de la planète est petite par rapport au Soleil

Aucun autre organisme n'est dans le système

Tous les mouvements et accélérations sont confinés au plan bidimensionnel de l'orbite.

MISE À JOUR

La raison pour laquelle cela m'intéresse est qu'une valeur de K = +3 dans mon modèle informatique produit des valeurs anormales (non newtoniennes) de taux de rotation périaphés très proches d'environ 1% de celles prédites par la relativité générale et de quelques pour cent de ceux observés par les astronomes (Le Verrier, mis à jour par Newcomb).

Formule (Einstein, 1915) pour la rotation péri-dérivée dérivée de GR (radians par orbite) de http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . {une}^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

MISE À JOUR 4

J'ai accepté la réponse de Walter. Non seulement a-t-il répondu à la question initiale (Existe-t-il une technique ...?) Mais aussi son analyse produit une formule qui non seulement confirme les effets simulés par ordinateur de la formule d'accélération transversale (pour K = 3) mais qui aussi (de manière inattendue pour moi) est essentiellement équivalent à la formule d'Einstein 1915.

du résumé de Walter (dans la réponse de Walter ci-dessous): -

: (à partir d'une analyse de péturbation du premier ordre) le demi-grand axe et l'excentricité sont inchangés, mais la direction du périapse tourne dans le plan de l'orbite au rythme où est la fréquence orbitale et avec axe semi-majeur. Notez que (pour ) cela correspond au taux de précession de la relativité générale (GR) à l'ordre (donné par Einstein 1915).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
source

Cherchez-vous toujours une réponse?

— Walter

@Walter. Oui. J'ai posé une question similaire sur physics.stackexchange.com/questions/123685/… mais aucune réponse solide n'a encore été reçue.

— steveOw

@Walter. J'ai également demandé à math.stackexchange.com/questions/866836/… .

— steveOw

Oui, il existe des méthodes analytiques approximatives (théorie des perturbations), valables dans la limite de

. Vous pouvez peut-être clarifier un peu votre question. Quelle est la direction de l'accélération transversale (je comprends que «transverse» signifie perpendiculaire à la vitesse instantanée, mais il n'est pas clair si l'accélération est dans le plan de l'orbite ou perpendiculaire ou un mélange).

K ≪ 1

$K\ll1$

— Walter

Il y a une différence entre votre question ici et celle sur les mathématiques (et la physique): ici l'accélération transversale est proportionnelle à l'accélération radiale et

est un nombre sans dimension, là l'accélération radiale n'a aucun effet sur l'accélération transversale et

doit être un accélération (bien que vous parliez d'un «nombre»).

K

$K$

K

$K$

— Walter

Vous voudrez peut-être utiliser la théorie des perturbations . Cela vous donne seulement une réponse approximative , mais permet un traitement analytique. Votre force est considérée comme une petite perturbation de l'orbite elliptique Keplerian et les équations résultantes du mouvement sont étendues en puissances de . Pour la théorie de la perturbation linéaire, seuls les termes linéaires dans sont conservés. Cela conduit simplement à intégrer la perturbation le long de l'orbite d'origine non perturbée. En écrivant votre force comme vecteur, l'accélération perturbatrice est $K$ $K$ avec la vitesse radiale ( ) et la composanterotation devitesse (la vitesse complète moins la vitesse radiale). Ici, le point ci-dessus indique une dérivée temporelle et un chapeau le vecteur unitaire.

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$

Maintenant, cela dépend de ce que vous entendez par « effet ». Étudions les changements de l'axe semi-principal orbital , de l'excentricité et de la direction du périapse. $a$ $e$

Pour résumer les résultats ci - dessous : le demi-grand axe et l'excentricité sont inchangés, mais la direction du périapse tourne dans le plan de l'orbite à la vitesse oùest la fréquence orbitale etavecaxe semi-majeur. Notez que (pour) celacorrespond au taux de précession de la relativité générale (GR)à l'ordre(donné par Einstein 1915 mais non mentionné dans la question d'origine).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

changement d'axe semi-majeur

De la relation (avec $a=-GM/2E$ l'énergie orbitale) que nous avons pour le changement dedû à une accélération externe (non Keplerian) $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$ En insérant(notez queavec le vecteur de moment angulaire), on obtient

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

Etant donnéla moyenneorbite

pour toute fonction

(voir cidessous),

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

changement d'excentricité

De , on trouve $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$ Nous savons déjà que, donc seulement besoin de considérer le premier terme. Ainsi,

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{g M une} + \frac{h^{2} \dot{une}}{2 g M {une}^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

où j'ai utilisé l'identité

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land une)}{g M une} = - \frac{r^{2} v \cdot une}{g M une} = - \frac{K h^{2}}{une c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

et le fait

. Encorefois

et donc

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

changement de direction du périapse

$\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$

$K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

mentions légales Aucune garantie que l'algèbre est correcte. Vérifie ça!

Annexe: moyennes orbitales

$v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} F (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) F (r (t)) ré t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

$\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = une ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} péché η \hat{k}) et r = une (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - péché η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) péché η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— Walter
source

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— called2voyage