D'où vient cette fameuse formule de précession planétaire?

L'équation suivante (que j'appellerai la formule de précession planétaire, PPF pour faire court) est apparue dans une publication d'Einstein de 1915 où il a indiqué comment elle pouvait être dérivée de sa théorie générale de la relativité (GTR).

$$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$$

où est la précession angulaire (anormale, non newtonienne) par orbite, a est le demi-axe de l'orbite, c est la vitesse de la lumière, T est la période orbitale, e est l'ellipticité de l'orbite.$\epsilon$$a$$c$$T$$e$

La formule PPF prédit avec précision la précession (anormale, non newtonienne) de Mercure et d'autres planètes solaires.

La formule était connue dans les milieux scientifiques bien avant 1915. Par exemple, Gerber (1898) l'a dérivée de son propre modèle de gravité (largement tourné en dérision). Dans l'article Internet Gerber's Gravity, il est écrit que

Il est devenu une activité assez populaire dans les années 1890 pour les physiciens de proposer divers potentiels gravitationnels basés sur la vitesse de propagation finie afin de tenir compte de tout ou partie de la précession orbitale de Mercure. Oppenheim a publié une revue de ces propositions en 1895. Le résultat typique de telles propositions est une avancée non newtonienne prédite du périhélie orbital par révolution de ...>

$$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$$

où est le rectum semi-latus d'une ellipse, est fonction de la vitesse angulaire d'une planète en orbite: avec et est une constante qui pourrait être dérivée de la théorie.$L = a(1 - e^2)$$m$$\omega$$m = a^3 \omega^2$$\omega = 2\pi/T$$k$

Clairement, avec nous obtenons la formule PPF donnée ci-dessus.$k = 6$

Je veux savoir d'où vient l'expression . D'après l'article, il semblerait provenir de l'article de revue de 28 pages d'Oppenheim, 1895, qui est numérisé ici . J'ai parcouru les analyses de ce document mais sans trouver explicitement cette équation (le document est en allemand que je connais très mal, Google Translate aide un peu mais laisse beaucoup d'ambiguïté). Il se peut que l'auteur anonyme de l'article ait extrait l'expression d'une revue du journal d'Oppenheim ou même des journaux originaux (français et allemands) eux-mêmes, mais il n'est pas joignable. Peut-être que quelqu'un ici connaît cette ère de l'histoire astrophysique et peut me diriger dans la bonne direction?$k\pi m/Lc^2$

Je ne sais pas où cette formule a été publiée pour la première fois, mais Oppenheim fait au moins quelque chose de très proche . Tout d'abord, gardez à l'esprit certains des symboles pertinents à Oppenheim, bien qu'ils soient plutôt standard: Nous pouvons voir que si nous masquons la notation, la proportionnalité que nous recherchons est équivalente:

$$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$$ $$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$$ Puisque le mouvement moyen est , où est la période orbitale, ce qui signifie que si nous voulons parler d'une avance au périhélie de par orbite, cela revient à parler d'un terme sous la forme Je ne peux pas trouver où, si en effet partout , Oppenheim considère le facteur manquant de$n\equiv 2\pi/T$$T$ $$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$$ $\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$ $$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$$ $(1-e^2)$comme appartenant à la précession anormale, mais sinon la formule est définitivement là. Je soupçonne qu'il n'utilise qu'une approximation d'orbite circulaire, , car elle ne se trouve nulle part dans la Sec. IV (théorie de Weber en 1846) et effectuer son calcul (sans ) me donne par siècle pour Mercure, en bon accord avec son résultat déclaré de , tandis que la mise à la main d' un facteur donne place.$e^2\approx 0$$1-e^2$$\delta\varpi = 13.72''$$\delta\varpi = 13.65''$$(1-e^2)$$\delta\varpi = 14.32''$

Peut-être Oppenheim ne l'a-t-il pas considéré explicitement et l'auteur de l' MathPagesa-t-il considéré comme évident que le facteur d'excentricité devait être là. Ou peut-être qu'il y a un commentaire secondaire dans le texte que je ne vois pas; malheureusement, je ne parle nulle part assez couramment l'allemand pour comprendre l'essentiel de ce qui se passe.