Pour développer le commentaire de Patricia Shanahan :
Les règles de nationalité sont suffisamment compliquées pour qu'il ne soit pas raisonnable de s'attendre à ce que les fonctionnaires d'un pays déterminent de manière fiable si quelqu'un est citoyen d'un autre pays. Le système de passeport permet à chaque pays de remettre à ses citoyens un document suffisamment standardisé pour qu'il puisse être lu et utilisé par des fonctionnaires d'autres pays. Si vous voulez que les autorités américaines vous traitent comme un citoyen britannique, montrez-leur un passeport britannique.
En fait, la loi américaine est explicite sur cette question. À partir de 8 USC 1187 :
... un étranger qui remplit les conditions suivantes:
(1) ...
(2) Ressortissant du pays du programme
L'étranger est un ressortissant et présente un passeport délivré par un pays qui ...
(pas d'italique dans l'original)
Par conséquent, la présentation d'un passeport polonais ne vous qualifiera pas pour le programme d'exemption de visa, quelle que soit votre autre nationalité et quelles que soient les autres preuves que vous pourriez avoir de cette nationalité.
Comme Peter Green le note dans sa réponse , vous pouvez soit obtenir un passeport britannique et l'utiliser pour le VWP, soit obtenir un visa américain avec votre passeport polonais.
Comme ce n'est que deux semaines avant votre voyage, je recommanderais de faire une demande urgente de passeport britannique si vous êtes au Royaume-Uni. Le coût (111 à 137 GBP, environ 150 à 180 USD) est similaire au coût d'un visa américain (160 USD, environ 120 GBP), mais le succès est beaucoup plus probable, et l'utilité du passeport britannique est probablement beaucoup plus grande que celle du visa américain.
Vous pouvez consulter les délais de traitement des visas américains sur https://travel.state.gov/content/visas/en/general/wait-times.html/ . Les délais actuels à Londres sont de 7 jours pour un rendez-vous et de 5 jours pour le traitement. Belfast est un peu mieux, à 3 et 2 jours respectivement. Les consulats d'Edimbourg et de Cardiff ne sont pas répertoriés, donc je suppose qu'ils ne traitent pas les demandes de visa.
Si vous n'êtes pas au Royaume-Uni et ne pouvez pas voyager au Royaume-Uni, vous ne pouvez pas prendre de rendez-vous urgent pour votre passeport; à la place, vous pouvez demander un document de voyage d'urgence . Pour entrer aux États-Unis avec l'un d'eux, cependant, vous avez besoin d'un visa, donc il n'y a aucune raison pour que vous poursuiviez cela.