Comment calculer le chevauchement entre les densités de probabilité empiriques?

Je cherche une méthode pour calculer la zone de chevauchement entre deux estimations de densité de noyau dans R, comme mesure de similitude entre deux échantillons. Pour clarifier, dans l'exemple suivant, il me faudrait quantifier l'aire de la région de chevauchement violacé:

library(ggplot2)
set.seed(1234)
d <- data.frame(variable=c(rep("a", 50), rep("b", 30)), value=c(rnorm(50), runif(30, 0, 3)))
ggplot(d, aes(value, fill=variable)) + geom_density(alpha=.4, color=NA)

Une question similaire a été discutée ici , la différence étant que je dois le faire pour des données empiriques arbitraires plutôt que pour des distributions normales prédéfinies. Le overlappackage répond à cette question, mais apparemment uniquement pour les données d'horodatage, ce qui ne fonctionne pas pour moi. L'indice Bray-Curtis (tel qu'implémenté dans veganla vegdist(method="bray")fonction du package ) semble également pertinent mais là encore pour des données quelque peu différentes.

Je m'intéresse à la fois à l'approche théorique et aux fonctions R que je pourrais utiliser pour l'implémenter.

La zone de chevauchement de deux estimations de densité de noyau peut être approximée à tout degré de précision souhaité.

$\min(K_1(x),K_2(x))$

Si les deux sont sur des grilles différentes et ne peuvent pas être facilement recalculés sur la même grille, une interpolation pourrait être utilisée.

$\frac{1}{h}K(\frac{x-x_i}{h})$

Cependant , les commentaires de whuber ci-dessus doivent être clairement gardés à l'esprit - ce n'est pas nécessairement une chose très significative à faire.

Par souci d'exhaustivité, voici comment j'ai fini par le faire dans R:

# simulate two samples
a <- rnorm(100)
b <- rnorm(100, 2)

# define limits of a common grid, adding a buffer so that tails aren't cut off
lower <- min(c(a, b)) - 1 
upper <- max(c(a, b)) + 1

# generate kernel densities
da <- density(a, from=lower, to=upper)
db <- density(b, from=lower, to=upper)
d <- data.frame(x=da$x, a=da$y, b=db$y)

# calculate intersection densities
d$w <- pmin(d$a, d$b)

# integrate areas under curves
library(sfsmisc)
total <- integrate.xy(d$x, d$a) + integrate.xy(d$x, d$b)
intersection <- integrate.xy(d$x, d$w)

# compute overlap coefficient
overlap <- 2 * intersection / total

Comme indiqué, il existe une incertitude et une subjectivité inhérentes à la génération de KDE ainsi qu'à l'intégration.

Tout d'abord, je peux me tromper, mais je pense que votre solution ne fonctionnerait pas dans le cas où il existe plusieurs points où les estimations de densité de noyau (KDE) se croisent. Deuxièmement, bien que le overlappackage ait été créé pour être utilisé avec des données d'horodatage, vous pouvez toujours l'utiliser pour estimer la zone de chevauchement de deux KDE. Vous devez simplement redimensionner vos données afin qu'elles s'étendent de 0 à 2π.
Par exemple :

# simulate two sample    
 a <- rnorm(100)
 b <- rnorm(100, 2)

# To use overplapTrue(){overlap} the scale must be in radian (i.e. 0 to 2pi)
# To keep the *relative* value of a and b the same, combine a and b in the
# same dataframe before rescaling. You'll need to load the ‘scales‘ library.
# But first add a "Source" column to be able to distinguish between a and b
# after they are combined.
 a = data.frame( value = a, Source = "a" )
 b = data.frame( value = b, Source = "b" )
 d = rbind(a, b)
 library(scales) 
 d$value <- rescale( d$value, to = c(0,2*pi) )

# Now you can created the rescaled a and b vectors
 a <- d[d$Source == "a", 1]
 b <- d[d$Source == "b", 1]

# You can then calculate the area of overlap as you did previously.
# It should give almost exactly the same answers.
# Or you can use either the overlapTrue() and overlapEst() function 
# provided with the overlap packages. 
# Note that with these function the KDE are fitted using von Mises kernel.
 library(overlap)
  # Using overlapTrue():
   # define limits of a common grid, adding a buffer so that tails aren't cut off
     lower <- min(d$value)-1 
     upper <- max(d$value)+1
   # generate kernel densities
     da <- density(a, from=lower, to=upper, adjust = 1)
     db <- density(b, from=lower, to=upper, adjust = 1)
   # Compute overlap coefficient
     overlapTrue(da$y,db$y)


  # Using overlapEst():            
    overlapEst(a, b, kmax = 3, adjust=c(0.8, 1, 4), n.grid = 500)

# You can also plot the two KDEs and the region of overlap using overlapPlot()
# but sadly I haven't found a way of changing the x scale so that the scale 
# range correspond to the initial x value and not the rescaled value.
# You can only change the maximum value of the scale using the xscale argument 
# (i.e. it always range from 0 to n, where n is set with xscale = n).
# So if some of your data take negative value, you're probably better off with
# a different plotting method. You can change the x label with the xlab
# argument.  
  overlapPlot(a, b, xscale = 10, xlab= "x metrics", rug=T)