Existe-t-il une version de test d'équivalence simple du test de Kolmogorov

Deux tests unilatéraux d'équivalence (TOST) ont-ils été élaborés pour le test de Kolmogorov-Smirnov afin de tester l'hypothèse nulle négativiste selon laquelle deux distributions diffèrent d'au moins un certain niveau spécifié par les chercheurs?

Si ce n'est pas TOST, alors une autre forme de test d'équivalence?

Nick Stauner souligne judicieusement que (je devrais déjà le savoir;) qu'il existe d'autres tests d'équivalence TOST non paramétriques pour les hypothèses nulles d'équivalence stochastique et, avec des hypothèses plus restrictives, pour l'équivalence médiane.

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— Alexis
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Connexes: tests d'équivalence pour les données non normales?

— Nick Stauner

Ok, voici ma première tentative. Un examen attentif et des commentaires appréciés!

Les hypothèses à deux échantillons
Si nous pouvons encadrer les tests d'hypothèse de Kolmogorov-Smirnov à deux échantillons , avec des hypothèses nulles et alternatives le long de ces lignes:

H , et $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H , pour au moins un , où: $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

la statistique de test $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ correspond à H ; $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
la statistique de test $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ correspond à H ; et $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
$F_{Y}\left(t\right)$ & $F_{X}\left(t\right)$ sont lesCDF empiriquesdes échantillons $Y$ et $X$ ,

alors il devrait être raisonnable de créer une hypothèse d'intervalle générale pour un test d'équivalence le long de ces lignes (en supposant que l'intervalle d'équivalence est symétrique pour le moment):

H , et $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H , pour au moins un . $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

Cela se traduirait par au particulier deux sens unique hypothèses nulles « de négativistes » pour tester l' équivalence (ces deux hypothèses prennent la même forme, puisque les deux et sont strictement non-négatif): $D^{+}$ $D^{-}$

H , ou $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H . $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

Rejeter à la fois H et H conduirait à conclure que . Bien entendu, l'intervalle d'équivalence n'a pas besoin d'être symétrique, et et pourraient être remplacés par (inférieur) et (supérieur) pour les hypothèses nulles unilatérales respectives. $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

Les statistiques de test (mises à jour: Delta est en dehors du signe de la valeur absolue)
Les statistiques de test et (en laissant implicitement les et ) correspondent à H et H , respectivement, et sont: $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

, et $D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

Le seuil d'équivalence / pertinence
L'intervalle - ou , si vous utilisez un intervalle d'équivalence asymétrique - est exprimé en unités de et , ou l'amplitude des probabilités différenciées. Lorsque et approchent de l'infini, le CDF de ou pour s'approche de pour $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ , et pour : $t<0$ $t \ge 0$

lim n Y, n X \to \infty p + = P (n Y n X n Y + n X - - - - - - - - \sqrt D + \leq t) = 1 - e - 2 t 2

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$CDF of $D^{+}$ (or $D^{-}$)$

Il me semble donc que le PDF pour la taille d'échantillon (ou la taille d'échantillon ) doit être pour , et pour : $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e - 2 t 2 d d t = 4 t e - 2 t 2

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$PDF of $D^{+}$ (or $D^{-}$)$

Glen_b points out that this is a Rayleigh distribution with $\sigma=\frac{1}{2}$ . So the large sample quantile function for sample size-scaled $D^{+}$ and $D^{-}$ is:

CDF - 1 = Q (p) = - ln ( 1 - p ) 2 - - - - - - - - - - \sqrt

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

and a liberal choice of $\Delta$ might be the critical value $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ , and a more strict choice the critical value $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$ .

— Alexis
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In the line where you pass from the cdf to the pdf, I think you got that wrong. Let

KnY,nX=nYnXnY+nX−−−−−√D+ $K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$ , so (abusing notation), in the limit

P(K∞,∞≤t)=1−e−2t2 $P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$ . Then

fK(t)=ddt1−e−2t2=4te−2t2 $f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$ (note the

t $t$ after the

4 $4$ ). (note also a missing sign in the exponent in the line above the taking of the derivative. Also I'm not sure why you have an integral symbol there, but maybe I misunderstood something.)

— Glen_b -Reinstate Monica

@stochazesthai

D1 $D_{1}$ and

D2 $D_{2}$ are two one-sided test statistics. Per TOST you need to reject both the null hypotheses to which these test statistics apply.

Qα $Q_{\alpha}$ is a critical value from CDF

−1 $^{-1}$ on the above line, and where you want to sub in

1−α $1-\alpha$ for

p $p$ (e.g.

Qα=−ln(1−(1−α))2−−−−−−−−−−√ $Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$ ). The choice of

Δ $\Delta$ depends on how far past

Qα $Q_{\alpha}$ (the critical rejection value for a plain old positivist

H0 $H_{0}$ ) you need to go, before you conclude relevant difference (e.g. liberal 'equivalence' is

14 $\frac{1}{4}$

σ $\sigma$ beyond

Qα $Q_{\alpha}$ ).

— Alexis

@stochazesthai (Continuing) So if both

D1≥Δ $D_{1} \ge \Delta$ and

D2≥Δ $D_{2} \ge \Delta$ , then you reject

H−0 $H_{0}^{-}$ .

— Alexis

@stochazesthai Whoops! I should have put the quotes around the word liberal rather than equivalence two comments back. :)

— Alexis

@stochazesthai If

D1≥Δ $D_{1} \ge \Delta$ , then reject

H−01 $H^{-}_{01}$ , if

D1<Δ $D_{1} < \Delta$ , then fail to reject

H−01 $H^{-}_{01}$ . If

D2≥Δ $D_{2} \ge \Delta$ , then reject

H−02 $H^{-}_{02}$ , if

D2<Δ $D_{2} < \Delta$ , then fail to reject

H−02 $H^{-}_{02}$ . If reject both

H−01 $H^{-}_{01}$ and

H−02 $H^{-}_{02}$ , then reject

H−0 $H^{-}_{0}$ , otherwise fail to reject

H−0 $H^{-}_{0}$ .

— Alexis

An alternative to TOST in equivalence testing is based on the confidence interval approach:

Let $\Delta$ denote the prespecified equivalence margin and

θ : = sup t | F X (t) - F Y (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$ the Kolmogorov-Smirnov distance between the unknown underlying distribution functions.

Now, if a 90% confidence interval for $\theta$ is completely within $[-\Delta, \Delta]$ , then we may be 95% certain that $\theta$ is enough close to 0 to speak of "equivalence".

Without knowing the underlying distributions, it seems to be hopeless to derive an approximate analytic confidence interval, so we might need to rely on (bias corrected) bootstrap confidence intervals based on resampling from pairs $X$ and $Y$ . (I don't want to find conditions for their validity in this particular application though...)

— Michael M
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Excellent. Do you have a citation for anyone undertaking the CI of

Dn1,n2 $D_{n_{1},n_{2}}$ (bootstrap or otherwise)?

— Alexis

Good point... The short paper tomswebpage.net/images/K-S_test.doc mentions the "Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures, Fifth Edition by David J.Sheskin (Apr 27, 2011)." to offer a two-sample case construcion for D. But at the moment, I don't have access to this book.

— Michael M

Existe-t-il une version de test d'équivalence simple du test de Kolmogorov – Smirnov?