Distribution des valeurs extrêmes

Si un article suit une distribution normale, la moyenne suit également une distribution normale. Qu'en est-il du minimum et du maximum?

Vous devriez jeter un œil aux statistiques de commande . Voici un très bref aperçu.

Soit un échantillon iid de taille tiré d'une population avec la fonction de distribution et la fonction de densité de probabilité . Définissez , où désigne la statistique de e ordre de l'échantillon , c'est-à-dire sa e plus petite valeur. n F f Y 1 = X ( 1 ) , … , Y r = X ( r ) , … , Y n = X ( n ) X ( r ) r X 1 , … X n$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

On peut montrer que la fonction de densité de probabilité conjointe de est$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

y 1 < y 2 < … < y n$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$ si et sinon.$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

En intégrant l'équation précédente, nous obtenons

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

En particulier, pour le minimum et le maximum, nous avons respectivement

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

Vous pouvez également vouloir lire la distribution des valeurs extrêmes généralisées (GEV) . Il s'avère qu'en tant que , la distribution (décalée et mise à l'échelle) de la valeur maximale de l'échantillon converge vers l'un des trois cas particuliers de la distribution GEV.$n\rightarrow\infty$

La somme des gaussiens est gaussienne. C'est pourquoi la moyenne est normale. La distribution de toute fonction non linéaire de gaussiens (en nombre fini) n'a pas besoin d'être gaussienne, et ce n'est généralement pas le cas. Tel est le cas de la fonction maximale. Pour approximer le maximum d'une gaussienne multivariée, Hothorn est un bon point de départ.