Quel est le but des fonctions caractéristiques?

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J'espère que quelqu'un pourra expliquer, en termes simples, ce qu'est une fonction caractéristique et comment elle est utilisée dans la pratique. J'ai lu qu'il s'agissait de la transformation de Fourier du pdf, alors je suppose que je sais ce que c'est, mais je ne comprends toujours pas son but. Si quelqu'un pouvait fournir une description intuitive de son objectif et peut-être un exemple de la manière dont il est généralement utilisé, ce serait fantastique!

Une dernière remarque: j'ai vu la page Wikipedia , mais je suis apparemment trop dense pour comprendre ce qui se passe. Ce que je recherche, c’est une explication que pourrait comprendre, dit un informaticien, une personne qui n’est pas plongée dans les merveilles de la théorie des probabilités.

probability mathematical-statistics characteristic-function

— Entaille
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À l'époque, les gens utilisaient des tables de logarithme pour multiplier les nombres plus rapidement. Pourquoi est-ce? Les logarithmes convertissent la multiplication en addition, puisque . Donc, afin de multiplier deux grands nombres et , vous avez trouvé leurs logarithmes, ajouté les logarithmes, , puis recherché sur une autre table. $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ $a$ $b$ $z = \log(a) + \log(b)$ $\exp(z)$

Maintenant, les fonctions caractéristiques font la même chose pour les distributions de probabilité. Supposons que a une distribution et que a une distribution , et que et sont indépendants. Alors la distribution de est la convolution de et , . $X$ $f$ $Y$ $g$ $X$ $Y$ $X+Y$ $f$ $g$ $f * g$

Maintenant , la fonction caractéristique est une analogie du « truc table logarithme » pour convolution, car si est la fonction caractéristique de , alors la relation suivante: $\phi_f$ $f$

ϕ_{f} ϕ_{g} = ϕ_{f * g}

$\phi_f \phi_g = \phi_{f * g}$

De plus, également comme dans le cas de logarithmes, il est facile de trouver l'inverse de la fonction caractéristique: donnée où est une densité inconnue, on peut obtenir par la transformée de Fourier inverse . $\phi_h$ $h$ $h$ $\phi_h$

La fonction caractéristique convertit la convolution en multiplication pour les fonctions de densité de la même manière que les logarithmes convertissent la multiplication en addition pour les nombres. Les deux transformations convertissent une opération relativement compliquée en une opération relativement simple.

— charles.y.zheng
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Autres éléments dignes de mention: (a) récupération de moments via la différenciation, (b) le fait que toutes les distributions ont des fonctions caractéristiques (par rapport aux fonctions générant des moments), (c) la correspondance (essentiellement) un à un entre les distributions et leurs fonctions caractéristiques, et (d) le fait que de nombreuses distributions relativement communes ont des fonctions caractéristiques connues mais aucune expression connue de la densité (par exemple, les distributions stables de Levy).

— cardinal

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Bons commentaires, cardinal. S'il vous plaît envisager de les transformer en une réponse réelle.

— whuber

Pour ceux d'entre vous qui comprennent ce sujet, est-ce qu'il est lié aux équations caractéristiques, telles qu'utilisées avec les relations de récurrence (c'est-à-dire dans Knuth's Concrete Math)? J'imagine qu'ils sont très différents et qu'ils ne partagent le mot "caractéristique" que par hasard, mais je pensais que je demanderais.

— Wayne

@Wayne vous devriez poster ceci comme une question. Je pense qu’il existe un lien étroit: les fonctions caractéristiques découlent de la transformation de Fourier, qui est la transformation de Gelf et transformée en relation avec les distributions sur la ligne réelle. L'équation caractéristique d'une relation de récurrence semble découler de la fonction génératrice de probabilité, qui est la transformation de Gelf et la transformation associées aux nombres naturels. Les variables dans les relations de récurrence peuvent être considérées comme prenant des valeurs sur des pas de temps discrets, c'est-à-dire des nombres naturels.

— Cantorhead

@Wayne ... Je pense donc que l'opérateur qui prend une variable dans une relation de récurrence à son équation caractéristique peut être considéré comme la "transformée de Fourier" liée aux distributions sur les nombres naturels. J'ai cherché et n'ai pas trouvé cette question, mais je serais très intéressé de voir les réponses si vous l'avez postée.

— Cantorhead

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@ charles.y.zheng et @ cardinal ont donné de très bonnes réponses, je vais ajouter mes deux sous. Oui, la fonction caractéristique peut sembler être une complication inutile, mais c'est un outil puissant qui peut vous aider à obtenir des résultats. Si vous essayez de prouver quelque chose avec la fonction de distribution cumulative, il est toujours conseillé de vérifier s'il est impossible d'obtenir le résultat avec la fonction caractéristique. Cela donne parfois des preuves très courtes.

Bien que, dans un premier temps, la fonction caractéristique apparaisse comme une manière peu intuitive de travailler avec des distributions de probabilités, il existe quelques résultats puissants qui y sont directement liés, ce qui implique que vous ne pouvez pas écarter ce concept comme un simple amusement mathématique. Par exemple, mon résultat préféré en théorie des probabilités est que toute distribution divisible à l'infini possède la représentation unique de Lévy-Khintchine . Combiné au fait que les distributions infiniment divisibles sont la seule distribution possible pour les limites des sommes de variables aléatoires indépendantes (à l'exclusion des cas bizarres), il en résulte un résultat profond à l'aide duquel le théorème de la limite centrale est dérivé.

— mpiktas
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Le but des fonctions caractéristiques est qu'elles peuvent être utilisées pour dériver les propriétés des distributions en théorie des probabilités. Si de telles dérivations ne vous intéressent pas, vous n'avez pas besoin de vous familiariser avec les fonctions caractéristiques.

— un arrêt
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Je suppose que de telles dérivations pourraient m'intéresser - je ne comprends tout simplement pas pourquoi nous devons passer à la fonction caractéristique? Pourquoi est-ce plus facile que de traiter directement avec le pdf / cdf?

— Nick

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ℏ

$\hbar$

Nous n'avons pas besoin de les utiliser. J'ai seulement dit qu'ils peuvent être utilisés. Parfois, ils donnent une dérivation plus rapide, parfois ils ne sont d'aucune aide. Que ce soit plus facile ou pas, dépend de ce que vous savez déjà - si vous ne connaissez pas déjà les fonctions caractéristiques, ce ne sera pas plus facile. Dans certains cas, les fonctions de génération de moment offrent une alternative et ont une interprétation plus directe.

— onestop

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La fonction caractéristique est la transformée de Fourier de la fonction de densité de la distribution. Si vous avez une intuition concernant les transformations de Fourier, ce fait peut être éclairant. L'histoire commune des transformations de Fourier est qu'elles décrivent la fonction "dans l'espace des fréquences". Puisqu'une densité de probabilité est généralement unimodale (du moins dans le monde réel ou dans les modèles élaborés à partir du monde réel), cela ne semble pas très intéressant.

— shabbychef
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Remarque : Un éditeur de potentiel affirme que la "fonction caractéristique est la transformée de Fourier inverse ".

— gung - Rétablir Monica

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La transformation de Fourier est une décomposition de la fonction (non périodique) dans ses fréquences. Interprétation pour les densités?

La transformation de Fourier est la version continue d'une série de Fourier puisqu'aucune densité n'est périodique, aucune expression n'est similaire à "série caractéristique".

— niko schmith
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