Distribution du rapport des variables aléatoires chi carré dépendantes

Supposons que où sont indépendants. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Ma question est, quelle distribution

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

suivre? Je sais d' ici que le rapport de deux variables aléatoires khi-deux exprimées en suit une distribution bêta. Je pense que cela suppose l' indépendance entre et . Dans mon cas, le dénominateur de contient les composantes de carré. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Je pense que doit également suivre une variation de la distribution Beta mais je ne suis pas sûr. Et si cette hypothèse est correcte, je ne sais pas comment le prouver. $Z$

— x0dros
source

Comme la distribution du dénominateur est invariante lors des rotations, vous pouvez faire pivoter

X

$X$ pour égaler

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$ , ce qui réduit votre question à quelque chose de familier :-).

— whuber

Je suis presque sûr que @whuber signifie exactement ce qui a été tapé ici. Quand vous dites «nominateur», voulez-vous dire «numérateur»?

— Glen_b -Reinstate Monica

Lorsque vous faites pivoter quelque chose, vous (par définition) conservez sa longueur. Par conséquent, la variance de toute version pivotée de

doit être égale à la variance de

, qui est

: c'est là que le

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

terme vient.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber Votre réponse semble vraiment très intéressante mais j'ai quelques doutes à ce sujet. Lorsque vous dites que je peux faire pivoter

pour devenir égal à

X

$X$

, cela signifie essentiellement que je peux réécrire le numérateur de

et par conséquent,

lui-même se transforme en

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

. Maintenant, si je suppose que

et puisque

sont indépendants, je peux supposer que

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

a unedistribution

et ainsi de suite. Suis-je obtenir votre point jusqu'à présent? Voici donc ma confusion. Avant d'utiliser le concept d'invariance rotationnelle et de modification

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$

— ssah

@ssah Vous vous trompez dans l'application de mon raisonnement: sans le

au dénominateur, sa distribution n'est plus invariante aux rotations arbitraires de

et donc les conclusions ne tiennent plus.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

Cet article développe les réponses dans les commentaires à la question.

Soit . Fixez tout de longueur unitaire. Un tel vecteur peut toujours être complété sur une base orthonormée (au moyen du processus de Gram-Schmidt , par exemple). Ce changement de base (par rapport à l'habituel) est orthogonal: il ne change pas de longueurs. Ainsi, la répartition des $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

ne dépend pas de . Prendre montre que cela a la même distribution que $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

Étant donné que le sont iid normal, ils peuvent être écrits comme fois iid standards variables normales et leurs places sont fois distributions. Etant donné que la somme de indépendante des distributions est $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ , nous avons déterminé que la distribution de est celle de $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

où et sont indépendants. Il est bien connu que ce rapport a une Beta $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ distribution. (Voir également le fil étroitement lié àDistribution de si Beta et chi-carré avec degrés.) $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

Puisque

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

pour le vecteur unitaire , nous concluons queest $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ fois par Betavariable aléatoire. $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ Pouril a donc une fonction de densité $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

sur l'intervalle (et sinon est zéro). $(0,n)$

A titre de contrôle, je simulé réalisations indépendantes de pour et , tracé de leurs histogrammes, et superposé au graphique de la densité Beta correspondant (en rouge). Les accords sont excellents. $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Voici le Rcode. Il effectue la simulation au moyen de la formule sum(x)^2 / sum(x^2)pour , où est un vecteur de longueur généré par . Le reste consiste simplement à boucler ( , ) et à tracer ( , ). $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
source