Formule d'estimation de régression quantile

J'ai vu deux représentations différentes de l'estimateur de régression quantile qui sont

Q (β_{q}) = \sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

Q (β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} ρ_{q} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}), ρ_{q} (u) = u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

où . Quelqu'un peut-il me dire comment montrer l'équivalence de ces deux expressions? Voici ce que j'ai essayé jusqu'à présent, à partir de la deuxième expression. $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{i = 1}^{n} u_{i} (q - 1 (u_{i} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} < 0)) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})) + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (q (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}))] (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ Mais à partir de là, je suis resté coincé sur la façon de procéder. Veuillez noter que ce n'est pas une question de devoir ou de devoir. Merci beaucoup.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
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Si vous vous souvenez, OLS minimise la somme des résidus carrés tandis que la régression médiane minimise la somme des résidus absolus . L'estimateur des écarts médians ou des écarts les moins absolus (DAL) est un cas particulier de régression quantile dans lequel vous avez . Dans la régression quantile, nous minimisons une somme d'erreurs absolues qui reçoivent des pondérations asymétriques pour la sur-prédiction et pour la sous-prédiction. Vous pouvez commencer à partir de la représentation CONT et l'étendre comme la somme de la fraction des données qui sont pondérées par et compte tenu de leur valeur de , et y travailler comme suit: $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (u) & = 1 (u_{i} > 0) q ∣ u_{i} ∣ + 1 (u_{i} \leq 0) (1 - q) ∣ u_{i} ∣ \\ = 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} > 0) q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ Ceci utilise simplement le fait que et ensuite vous pouvez réécrire la fonction d'indicateur en tant que sommes des observations qui satisfont les conditions des indicateurs . Cela donnera la première expression que vous avez notée pour l'estimateur de régression quantile.

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + (1 - q) \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - (1 - q) \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) + q \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) - \sum_{i = 1}^{n} 1 (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} \leq 0) (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (q - 1 (u_{i} \leq 0)) u_{i} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

La deuxième ligne extrait les poids des sommations. La troisième ligne supprime les valeurs absolues et les remplace par les valeurs réelles. Par définition est négatif chaque fois que , d'où le changement de signe dans cette ligne. La quatrième ligne se multiplie . Vous réalisez alors que et en remplaçant la sommation du moyen terme à la quatrième ligne par l'indicateur correspondant vous arrivez à la cinquième ligne. Factorisation puis remplacement de $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{i : y_{i} > x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) + q \sum_{i : y_{i} \leq x_{i}^{'} β_{q}}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}) = \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - x_{i}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
Cela montre comment les deux expressions sont équivalentes.

— Andy
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