Qu'est-ce que l'on appelle exactement «composante principale» dans l'ACP?

Supposons que est le vecteur qui maximise la variance de la projection des données avec la matrice de conception $u$$X$ .

Maintenant, j'ai vu des documents qui font référence à $u$ comme le (premier) composant principal des données, qui est également le vecteur propre avec la plus grande valeur propre.

Cependant, j'ai également vu que la principale composante des données est $X u$ .

Évidemment, et et X u sont des choses différentes. Quelqu'un peut-il m'aider ici et me dire quelle est la différence entre ces deux définitions des principaux composants?$u$$Xu$

Vous avez tout à fait raison d'observer que même si (l'un des vecteurs propres de la matrice de covariance, par exemple le premier) et X u (projection des données sur le sous-espace à 1 dimension couvert par $\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$$\mathbf{u}$ ) sont deux choses différentes, on les appelle souvent "composant principal", parfois même dans le même texte.

$\mathbf{u}_i$

$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$

$\mathbf u$

$\mathbf u$$\mathbf{Xu}$ "scores de composante principale".

Résumé des deux conventions:

$$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$$

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Remarque: Seuls les vecteurs propres de la matrice de covariance correspondant à des valeurs propres non nulles peuvent être appelés directions / composantes principales. Si la matrice de covariance est de bas rang, elle aura une ou plusieurs valeurs propres nulles; les vecteurs propres correspondants (et les projections correspondantes qui sont à zéro constant) ne doivent pas être appelés directions / composantes principales. Voir une discussion dans ma réponse ici.