Existe-t-il toujours une fonction de lien canonique pour un modèle linéaire généralisé (GLM)?

Dans GLM, en supposant un scalaire et θ pour la distribution sous-jacente avec pdf f Y ( y | θ , τ ) = h ( y , τ ) exp ( θ y - A ( θ $Y$$\theta$ On peut montrer queμ=E(Y)=A′(θ). Si la fonction de lieng(⋅)satisfait à ce qui suit,g(μ)=θ=X′βoùX′βest le prédicteur linéaire, alorsg(⋅)est appelée la fonction de lien canonique pour ce modèle.

$$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$$ $\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$$g(\cdot)$ $$g(\mu)=\theta = X'\beta$$ $X'\beta$$g(\cdot)$

Ma question est, existe-t-il toujours une fonction de lien canonique pour un GLM? En d'autres termes, peut-il toujours être inversé? Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'une fonction de lien canonique existe?$A'(\theta)$

$A'(\theta) = E(Y)$$A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

$A'(\theta)$

Cependant, je ne sais pas s'il existe des distributions de cette famille qui ont une variance infinie. Je n'ai pas pu trouver de tels exemples.