Inversion des baies

J'ai un grand ensemble de données de marché agrégées sur les ventes de vin aux États-Unis et je voudrais estimer la demande de certains vins de haute qualité. Ces parts de marché sont essentiellement dérivées d'un modèle d'utilité aléatoire de la forme où inclut les caractéristiques de produit observées, désigne les prix des produits, sont des caractéristiques de produit non observées qui influencent la demande et qui sont corrélées avec le prix et est le terme d'erreur, indexe les individus, indexe produits et marchés index (villes dans ce cas).

U_{i j t} = X_{j t}^{'} β - α p_{j t} + ξ_{j t} + ϵ_{i j t} \equiv δ_{j t} + ϵ_{j t}

$U_{ijt} = X’_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt} + \epsilon_{ijt} \equiv \delta_{jt} + \epsilon_{jt}$

X

$X$

p

$p$

ξ

$\xi$

ϵ

$\epsilon$

i

$i$

j

$j$

t

$t$

Je ne peux pas utiliser le modèle logit conditionnel habituel à cause du terme de qualité non observé et je n'ai pas un bon instrument. Cependant, Berry (1994) a développé une stratégie pour linéariser le système non linéaire d'équations de marché dans un cadre logit multinomial mais je ne peux pas comprendre comment il fait l'étape d'inversion. $\xi$

Aux vraies valeurs des paramètres, il dit que la part de marché estimée devrait être égale à la "vraie" part de marché: pour qu'il propose ensuite d'inverser les parts de marché de à Ce qui permet de résoudre pour et de l'éliminer. Si quelqu'un pouvait faire la lumière sur le fonctionnement de cette étape d'inversion ou peut-être même l'implémenter dans Stata, ce serait formidable. Merci beaucoup. $\widehat{s}_{jt} (X, \beta , \alpha , \xi) = S_{jt}$

S_{j t} = {\hat{s}}_{j t} (δ, α, β)

$S_{jt} = \widehat{s}_{jt}(\delta , \alpha , \beta)$

δ = {\hat{s}}^{- 1} (S, α, β)

$\delta = \widehat{s}^{-1}(S, \alpha, \beta)$

ξ

$\xi$

Berry, ST 1994, «Estimating Discrete-Choice Models of Product Différenciation», Rand Journal of Economics, Volume 25, Numéro 2, page 242-62

— user40339
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Considérons un modèle logit multinomial dans lequel vous estimez les parts de marché comme où le bien extérieur est normalisé à zéro. Lorsque vous prenez le journal de cette expression, vous obtenez pour les biens intérieurs et pour les biens extérieurs:

{\hat{s}}_{j t} = \frac{\exp (δ_{j t})}{1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t})}

$\widehat{s}_{jt} = \frac{\exp(\delta_{jt})}{1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt})}$

\log ({\hat{s}}_{j t}) = δ_{j t} - \log (1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t}))

$\log (\widehat{s}_{jt}) = \delta_{jt} – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$

\log ({\hat{s}}_{0 t}) = 0 - \log (1 + \sum_{g = 1}^{J} \exp (δ_{g t}))

$\log (\widehat{s}_{0t}) = 0 – \log \left( 1 + \sum^{J}_{g=1}\exp(\delta_{gt}) \right)$

Votre est alors donné par et en supposant que, étant donné un échantillon suffisamment grand, les parts de marché estimées sont égales aux véritables parts de marché, comme vous l'avez dit. Cela peut être estimé via OLS où le terme d'erreur est donné par . Notez que les marchés sont supposés indépendants les uns des autres. $\delta_{jt}$

δ_{j t} = \log ({\hat{s}}_{j t}) - \log ({\hat{s}}_{0 t}) = X_{j t}^{'} β - α p_{j t} + ξ_{j t}

$\delta_{jt} = \log (\widehat{s}_{jt}) – \log (\widehat{s}_{0t}) = X'_{jt}\beta - \alpha p_{jt} + \xi_{jt}$

ξ_{j t}

$\xi_{jt}$

Pour clarifier le concept, considérons un exemple dans Stata. Je n'ai pas un ensemble de données approprié à l'esprit pour un tel exercice, alors supposons simplement que nous avons des données agrégées sur

5 produits ( prod)
prix des produits ( p)
quantité vendue ( q)
deux caractéristiques du produit ( x1, x2)

Supposons que le bien 1 soit le bien extérieur avec une part de marché de 10 à 20% (variant selon le marché) et que le reste soit réparti entre les autres biens. Ce que vous feriez dans Stata est le suivant:

* calculate the market share of your goods in all markets
egen mktsales = sum(q), by(mkt)
gen share = q/mktsales

* generate logs
gen ln_share = ln(share)

* subtract the log share of the outside good from the log share of the inside goods
gen diffshare = .
forval i = 1(1)100 {
    qui sum ln_share if prod==1 & mkt==`i’
    replace diffshare = ln_share - `r(max)’ if mkt==`i’
}

* run the regression
reg diffshare p x1 x2

Et cela vous donne l'inversion Berry ou le logit Berry pour l'estimation de la demande. Une chose à prendre en compte: si les caractéristiques du produit non observées incluent des facteurs qui sont corrélés avec le prix (comme la qualité du produit ou les campagnes publicitaires), alors vous devez utiliser la régression des variables instrumentales. Vous pouvez le faire parce que nous avons linéarisé le système de demande du marché, donc le standard 2SLS est une option. $\xi_{jt}$

Dans ce cas, vous avez besoin de quelque chose qui modifie le prix de manière exogène mais qui n'affecte pas la demande. Les instruments courants utilisés dans la littérature empirique sur les organisations industrielles en économie sont les transferts de coûts (voir Berry et al., 1995) car, par exemple, le prix du poisson est affecté par les intempéries en mer, mais pas la demande des consommateurs; caractéristiques des produits d'entreprises concurrentes en supposant que l'évaluation par les consommateurs du bien ne dépend pas des caractéristiques d'autres produits (voir Nevo, 2001) ou si vous avez une dimension spatiale aux données, Hausman (1997) utilise les variations de prix d'une marque dans ville A pour instrumenter les prix dans la ville B. Cela fonctionne étant donné que les produits d'une marque dans les deux villes partagent des coûts marginaux communs mais pas la même demande. $i$

Comme alternative, Berry et al. (1995) développent un modèle logit à coefficients aléatoires qui donne des élasticités de prix propres et croisées plus précises et des modèles de substitution plus souples entre les biens.

Les références:

Berry, S., J. Levinsohn et A. Pakes (1995), «Prix des automobiles à l'équilibre du marché», Econmetrica, 63, 4, 841-90
Hausman, J., «Valuation of New Goods Under Perfect and Imperfect Competition», dans Bresnahan et Gordon (éd.), The Economics of New Goods, NBER Studies in Income and Wealth 58, 1997, 209-237
Nevo, A. (2001), «Mesurer le pouvoir de marché dans l'industrie des céréales prêtes à consommer», Econometrica, 69, 2, 307-42

— Andy
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